$ 100100010101111_ {2} = 48AF_ {16}

Аналогично этому, чтобы преобразовать двоичное число в восьмеричное, мы могли бы просто разбить двоичное число на группы по 3 цифры, а остальная часть процедуры такая же, как преобразование двоичного числа в шестнадцатеричное число. Давайте превратим то же двоичное число в восьмеричное:

$ 100100010101111_ {2} = 100 100 010 101 111 $

100 долларов = 4

010 долларов = 2

101 доллар = 5

111 долларов = 7

$ 100100010101111_ {2} = 44257_ {8}

Обратить процесс еще проще. Предположим, мы хотим преобразовать $ FC7_ {16} $ в двоичную форму. Из таблицы мы можем прочитать двоичные значения для каждой цифры шестнадцатеричного числа:

$ F_ {16} = 1111_ {2} $ C_ {16} = 1100_ {2} $ 7_ {16} = 0111_ {2}

$ FC7_ {16} = 111111000111_ {2}

Процесс преобразования восьмеричного числа в двоичную форму такой же.

Системы счисления — десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная | Рукшани Атхапату | Coder’s Corner

Давайте рассмотрим несколько различных систем счисления, которые используются сегодня, и посмотрим, как с помощью трех простых правил мы можем построить любую систему счисления, какую захотим.

В математике «основание» или «основание» — это количество различных цифр или комбинаций цифр и букв, которые система счета использует для представления чисел. ~ Wiki ~

Например,

• Base 10 ( Decimal) — Представляет любое число, используя 10 цифр [0–9]
• Base 2 ( Binary ) — Представляет любое число, используя 2 цифры [0 –1]
• Base 8 ( Octal ) — представляет любое число, используя 8 цифр [0–7]
• Base 16 (Hexadecimal) — Представляет любое число, используя 10 цифр и 6 символов [0–9, A, B, C, D, E, F]

В любой из упомянутых выше систем счисления ноль очень важен как значение места. Возьмем число 1005. Как нам записать это число, чтобы знать, что в нем нет десятков и сотен? Мы не можем записать его как 15, потому что это другое число, а как записать миллион (1000000) или миллиард (1000000000) без нулей? Вы понимаете это значение?

Сначала мы увидим, как построена десятичная система счисления, а затем мы будем использовать те же правила и для других систем счисления.

Мы все умеем писать числа до 9, не так ли? Что тогда? Что ж, это действительно просто.Когда вы израсходуете все свои символы, вы сделаете

• , вы добавите еще одну цифру слева и сделаете правую цифру 0.
• Затем снова поднимитесь до, пока не закончите все символы с правой стороны. и когда вы нажмете последний символ, увеличьте цифру слева на 1.
• Когда вы израсходовали все символы как на правой, так и на левой цифре, сделайте оба из них 0 и добавьте еще 1 слева, и это продолжится. и тому подобное.

Если вы используете 3 приведенных выше правила в десятичной системе,

• Запишите числа 0–9.
• Как только вы дойдете до 9, сделайте крайнюю правую цифру 0 и прибавьте 1 к левой, что означает 10.
• Затем на правой цифре мы продвинемся до 9, а когда мы достигнем 19, мы используем 0 на правой цифре и добавим 1 к слева, поэтому мы получаем 20.
• Точно так же, когда мы достигаем 99, мы используем 0 в местах обеих этих цифр и добавляем 1 слева, что дает нам 100.

Итак, вы видите, когда у нас есть десять разных символов, когда мы добавляем цифры в левую часть числа, каждая позиция будет стоить в 10 раз больше, чем предыдущая.

Возьмем ту же десятичную систему счисления. На самом деле есть только два правила.

• У вас есть символ для представления количества [0–9]
• Затем значение цифры в зависимости от ее положения — давайте это немного проясним.

Возьмем однозначное число «8». Это просто означает 8, другими словами, это именно то, что, как написано, представляет. А как насчет 24? В случае двух цифр правая цифра говорит то, что она означает, а левая цифра означает в десять раз больше, чем она говорит.То есть 4 равно 4, 2 равно 20. Всего получается 24.

Если мы возьмем трехзначное число, крайняя правая цифра означает то, что оно говорит, средняя цифра в десять раз больше того, что она говорит, а крайняя левая цифра в 100 раз больше того, что она говорит. Просто, если мы возьмем число 546, это означает 6 + (10 * 4) + (5 * 100) = 546.

В двоичном формате у нас есть только две цифры для представления числа, 0 и 1, и у нас уже закончились символы. . Так что же нам делать? Давайте применим те же правила, которые мы использовали для десятичной системы счисления.

Делаем правую цифру 0 и прибавляем 1 к левой, то есть наше следующее число — «10».Затем мы продвигаемся вверх, пока не израсходовали все символы с правой стороны. Итак, следующее число в строке — 11.

После «11» мы ставим 0 в обоих этих местах и ​​прибавляем 1 слева, и получаем 100.

Затем 101, 110, 111, затем 1000…

Эта двоичная система счисления основана на двух цифрах, и каждая позиция стоит в два раза больше, чем предыдущая.

Чтение двоичного числа почти аналогично чтению десятичного числа. Правая цифра означает, что это означает, следующая означает два раза предыдущую, после этого 4 раза и т.д.

Итак, 101 означает 5 в десятичной системе счисления.

Эти же правила применяются также к восьмеричной и шестнадцатеричной системам счисления. В восьмеричном формате у нас есть только 8 цифр для представления чисел, поэтому, как только мы дойдем до 7, следующим числом будет 10, а в шестнадцатеричном формате у нас будет 10 цифр и 6 букв для представления чисел. В этом случае, когда мы дойдем до 9, следующая цифра будет представлена ​​буквой «А». Следующая буква «Б». Точно так же мы поднимаемся до буквы «F», а после «F» идет «10».

Я просто перечислю несколько чисел в этих 4 различных системах счисления и посмотрю, сможете ли вы применить правила, которые мы обсуждали выше, чтобы получить следующее число.

Чтобы понять, как компьютеры представляют положительные и отрицательные числа, прочтите это, а другие сведения о шестнадцатеричном формате можно найти здесь.

Список литературы

№ 2535: Временные таблицы

Компьютеры считают, что проще всего работать с двумя цифрами — ноль и единица. Эти двоичные цифры называются битами. Чтобы записать возраст Вселенной, требуется тридцать четыре бита. Это больше, чем одиннадцать в нашей десятичной системе, но в компьютере есть гораздо более простые таблицы умножения: ноль умножить на ноль, ноль умножить на единицу и один умножить на единицу.Это оно!

Широко распространено мнение, что мы используем десять цифр, потому что именно столько у нас пальцев. Это более чем необходимо для хорошей работоспособной системы счисления. Я бы предпочел восемь. Но я просто рад, что мы не родились с двадцатью пальцами. Я бы никогда не просмотрел свои таблицы умножения.

Я Энди Бойд из Хьюстонского университета, где интересовался тем, как работают изобретательные умы.

[аудио: тройка — магическое число]

Системы счисления, обсуждаемые в этом эпизоде, известны как позиционные системы . Позиционные системы счисления работают, выбирая по основанию , которое равно количеству цифр в системе. Положение цифры в цепочке цифр соответствует степени основания.

Например, в нашей стандартной десятичной системе счисления мы имеем

52,907 (базовая десятка) =
5 x 10 ⁴ + 2 x 10 ³ + 9 x 10 ² + 0 x 10 ¹ + 7 x 10 ⁰ .

В восьмерке у нас

147,253 (базовая восьмерка) =
1 x 8 ⁵ + 4 x 8 ⁴ + 7 x 8 ³ + 2 x 8 ² + 5 x 8 ¹ + 3 x 8 ⁰ .

Обратите внимание, что оба этих числа, 52 907 (десять по основанию) и 147 253 (восемь по основанию), представляют одно и то же количество; они просто выражаются в двух разных системах счисления.

для двоичной (основание два), четвертичной (основание четыре), восьмеричной (основание восемь) и десятичной (основание десять) систем счисления показаны ниже. Обратите внимание, что необходимо запомнить лишь немногим более половины значений в этих таблицах, поскольку изменение порядка умножения на обратное не меняет результата (например, 6 x 8 = 8 x 6).

Следует отметить, что однозначные таблицы сложения , подобные таблицам умножения, также необходимы для освоения базовой арифметики, но не обсуждаются в этом эпизоде.Большинство людей осваивают эти таблицы без особых проблем.

Дополнительную информацию о позиционных системах счисления см., Например, на http://en.wikipedia.org/wiki/Positional_notation.

Изображения таблиц умножения были вырезаны с веб-сайта http://www.cut-the-knot.org/blue/SysTable.shtml.

Двигатели нашей изобретательности Авторские права © 1988-2009, Джон Х.Линхард.

систем представления чисел — десятичных, двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных — x-engineer.org

В этой статье мы обсудим различные системы представления чисел, где они используются и почему они полезны. Вкратце мы рассмотрим представление чисел в десятичном формате , в двоичном формате , в восьмеричном и шестнадцатеричном формате .

Десятичное (основание 10)

Наиболее распространенной системой представления чисел является десятичная система .Все используют это. Это настолько распространено, что большинство людей не может поверить в то, что это единственное. Его используют в финансах, инженерии и биологии почти везде, где мы видим и используем числа.

Если кто-то просит вас думать над числом, вы наверняка будете думать над десятичным числом. Если вы думаете в двоичном или шестнадцатеричном формате, у вас должна быть крайняя страсть к арифметике или программному обеспечению / программированию.

Как следует из названия, десятичная система счисления использует 10 символов / знаков.В латинском языке 10 — это «decem», поэтому десятичное число может быть связано с латинским словом.

В приведенном ниже примере десятичное число 670 делится на десятичное число. с номерами от 0 до 9 . Это просто, чтобы показать, что любое число в десятичной системе может быть разложено на сумму членов, составленных из произведения степени 10 и символов 0… 9 .0 \\
& = 60000 & + 7000 & + 0 & + 40 & + 9
\ end {split} \ end {формула *} \]

Тот же метод будет применен к двоичному файлу, восьмеричная и шестнадцатеричная системы, являющиеся по сути способом преобразования числа из десятичной системы в другой формат (основание).

Мы можем иметь в виду следующие характеристики десятичной системы счисления:

• использует 10 символов
• можно разложить на множители, содержащие степени 10
• это наиболее распространенная система представления чисел

Двоичная (основание 2)

Давайте теперь перейдем на сторону компьютерных фанатов.

Другая система представления чисел — это двоичная . Как следует из названия и по аналогии с десятичной системой, мы можем сказать, что двоичная система использует только 2 символа / символа:

В двоичном представлении мы используем только 0 (нули) и 1 (единицы) для представления числа.

Двоичная система используется везде, где требуется хранить информацию в электронном формате. Все компьютеры, которые вы знаете, интеллектуальные устройства, все, что связано с электроникой и микроконтроллерами, используют двоичную систему.

В электронике (цифровой) все операции выполняются с использованием двух уровней напряжения: высокого и низкого. Каждому уровню напряжения присваивается значение / символ: ВЫСОКИЙ для 1 и НИЗКИЙ для 0. Для микроконтроллера, на который подается напряжение + 5 В, значение 1 (высокое) будет представлено как +5 В, а значение 0 (низкое). ) на 0 В.

Примерно можно сказать, что используется двоичная система, потому что она может быть переведена в электронный сигнал.

Все десятичные числа, которые мы можем придумать, можно представить в виде двоичных символов.0 \\
& = 128 & + 0 & + 0 & + 16 & + 0 & + 4 & + 0 & + 1
\ end {split} \ end {формула *} \]

Как вы можете см. десятичное число 149 представлено в двоичной системе серией нулей и единиц ( 10010101 ). Обычно, чтобы различать десятичное и двоичное число, мы должны указать основание, на которое мы ссылаемся. Основание описывается как нижний индекс после последнего символа числа

Пример:

Указав основание числа, мы исключаем вероятность путаницы, потому что одно и то же представление (например.грамм. 11) может означать разные вещи для разных баз.

Другой способ избежать путаницы — использовать специальную нотацию (префикс) для двоичных чисел. Это потому, что 1100 может представлять одиннадцать сотен в десятичной системе или десятичные двенадцать в двоичной системе. Поэтому, если нужно указать двоичное число, мы используем префикс 0b . Пример: 0b1100 .

Вкратце характеристики двоичной системы:

• в ней используются 2 символа
• можно разложить на множители, содержащие степени 2
• используется в компьютерах, микроконтроллерах

Восьмеричное (основание 8)

Все числа в восьмеричной системе представлены с использованием 8 символов / знаков, от 0 до 7 .Причины использования восьмеричной системы вместо десятичной могут быть разными. Один из них заключается в том, что вместо того, чтобы использовать пальцы для счета, мы используем промежутки между пальцами.

У людей есть 4 промежутка между пальцами одной руки; Всего у нас будет 8 мест для обеих рук. В этом случае имеет смысл использовать восьмеричную систему представления чисел вместо десятичной. Недостатком является то, что для более высоких чисел потребуется больше символов по сравнению с десятичным.

Чтобы преобразовать десятичное представленное число в восьмеричную систему, мы разбиваем его на члены, содержащие степень 8:

В качестве примера мы собираемся представить десятичное число 67049 в восьмеричной системе счисления:

Шестнадцатеричное (основание 16)

Шестнадцатеричная система представления чисел использует 16 символов / знаков для определения чисел.Он используется в информатике в основном потому, что может представлять большие десятичные числа с меньшим количеством символов.

По сравнению с десятичной системой, здесь также используются цифровые символы от 0 до 9.0 \\
& = 65536 & + 0 & + 1280 & + 224 & + 9
\ end {split} \ end {формула *} \]

Представление десятичного числа 67049 в шестнадцатеричном формате это 105E9 . Как и в случае с двоичной системой, обычной практикой является использование префикса « 0x » для отличия от десятичной системы счисления. Пример: 0x105E9 .

Кратко характеристики системы представления шестнадцатеричных чисел:

• в ней используются 16 символов
• можно разложить на множители, содержащие степени 16
• Используется в компьютерах, микроконтроллерах

В таблице ниже приведены характеристики вышеупомянутые системы представления чисел.

Системы представления восьмеричных и шестнадцатеричных чисел связаны с компьютерной системой , в основном с процессорами и микроконтроллерами.Например, если микропроцессор использует 8-битные данные, восьмеричная система подходит для интерфейса данных. Если микропроцессор использует 16 бит, то для представления данных подходит шестнадцатеричная система.

Двоичные, восьмеричные и шестнадцатеричные числа

• Denary — Денарная система счисления (десятичная) — это система счисления с основанием 10, используемая людьми с 10 уникальными цифрами от 0 до 9
• Octal — восьмеричная система счисления (Oct) — это система счисления с основанием 8, в которой используются цифры от 0 до 7
• Шестнадцатеричный — Шестнадцатеричная система счисления (Hex) представляет собой систему счисления с основанием 16, использующую цифры 0-9 и буквы A — F
• Двоичная — Двоичная система счисления (Bin) — это система счисления с основанием 2, использующая число 1 и 0

Преобразование двоичного числа в десятичное

В десятичной системе счисления используется основание системы счисления 10.

Динарное (десятичное) число может быть выражено как

10,5

= 1 x 10 ¹ + 0 x 10 ⁰ + 5 x 10 ^-1

Двоичная система счисления имеет основание системы счисления 2.

Двоичное число может быть выражено как

1011,1

= 1 x 2 ³ + 0 x 2 ² + 1 x 2 ¹ + 1 x 2 ⁰ + 1 x 2 ^-1

= 8 + 0 + 1 + 1 + 1/2

= 10.5

Различие двоичных и денарных чисел может быть указано как

1011,1 ₂ = 10,5 ₁₀

Преобразование шестнадцатеричных чисел в десятичные

Шестнадцатеричная система счисления имеет основание 16 и использует следующие 16 различные цифры

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E и F

‘A’ соответствует 10 в денарной системе, От B до 11, C до 12 …

Шестнадцатеричное число может быть выражено как

1BC

= 1 x 16 ² + C x 16 ¹ + F x 16 ⁰

= 1 x 16 ² + 12 x 16 ¹ + 15 x 16 ⁰

= 256 + 192 + 15

= 463

Системы счисления

Структуры данных и системы счисления
© Авторские права Брайан Браун, 1984–1999.Все права зарезервированный.

В данном учебном курсе используются расширения HTML 3.0

Введение

Система счисления определяет набор значений, используемых для представления количество. Мы говорим о количестве людей, посещающих занятия, количество модулей, взятых на одного студента, а также используйте числа для представляют собой оценки, полученные учащимися на тестах.

Количественная оценка значений и предметов по отношению друг к другу является помогает нам разобраться в окружающей среде.Мы делаем это в ранний возраст; выясняя, есть ли у нас еще игрушки, с которыми можно поиграть, еще подарки, еще леденцы и так далее.

Изучение систем счисления не ограничивается компьютерами. Мы применяем числа каждый день, и, зная, как работают числа, мы дать нам представление о том, как компьютер манипулирует и хранит числа.

Человечество на протяжении веков использовало знаки и символы для представляют собой числа. Ранние формы были прямыми линиями или группами линий, как в фильме Робинзон Крузо , где группа из шести вертикальных линий с диагональной линией поперек представлена ​​одна неделя.

Сложно представить большие или очень маленькие числа с помощью такой графический подход. Еще в 3400 г. до н.э. в Египте и в 3000 г. до н.э. в Месопотамии они разработали символ, представляющий единицу 10. Это было большим достижением, поскольку уменьшило количество обязательные символы. Например, 12 можно представить как 10 и две единицы (три символа вместо 12, что требовалось ранее).

Римляне изобрели систему счисления, которая могла представлять все числа от 1 до 1000000 с использованием всего семи символов

• I = 1
• В = 5
• Х = 10
• L = 50
• С = 100
• D = 500
• M = 1000

Маленькая полоса над символом указывает на то, что номер умножить на 1000.

Наиболее распространенной сегодня системой счисления является арабский . система. Впервые он был разработан индусами и использовался как еще в 3 веке до нашей эры. Введение символа 0, используется для обозначения позиционного значения цифр, было очень важный. Таким образом, мы познакомились с концепцией групп единиц, десятков единиц, сотен единиц, тысяч единиц и скоро.

В системах счисления часто полезно думать о повторяющихся устанавливает , где набор значений повторяется снова и снова.

В десятичной системе счисления имеет набор значений. диапазон от 0 до 9. Этот базовый набор повторяется снова и снова. над, создавая большие числа.

Обратите внимание, как повторяется набор значений от 0 до 9, и для каждого повторить, столбец слева увеличивается (с 0 до 1, затем 2).

Каждое увеличение значения происходит до значения наибольшего число в наборе (9), на этом этапе следующее значение является наименьшим в наборе (0), и новое значение создается в левый столбец (т. е. следующее значение после 9 — 10).

09, 10–19, 20–29, 30–39 и т. Д.

 

Мы всегда записываем цифру с наибольшим значением на слева от номера

База Значения
Базовое значение системы счисления — это количество различных значения, которые имеет набор до повторения. Например, десятичный имеет базу из десяти значений от 0 до 9.

• Двоичный = 2 (0, 1)
• Восьмеричное число = 8 (0-7)
• Десятичное число = 10 (0-9)
• Двенадцатеричный = 12 (использовался для некоторых целей римлянами)
• Шестнадцатеричный = 16 (0-9, A-F)
• Vigesimal = 20 (используется майя)
• Шестидесятеричный = 60 (используется вавилонянами)

Взвешивание Фактор
Весовой коэффициент — это значение множителя, применяемое к каждому положение столбца номера.Например, десятичное число имеет весовой коэффициент TEN в каждом столбце слева указывает на увеличение значения умножения на 10 по сравнению с предыдущим столбец справа, т.е. каждый столбец перемещается влево увеличивается с коэффициентом умножения 10.

200 =
----- 0 * 10  0  = 0 * 1 = 0
------ 0 * 10  1  = 0 * 10 = 0
------- 2 * 10  2  = 2 * 100 = 200
-----
200 (суммируя)
-----

 

Рассмотрим еще один пример десятичного числа 312.

312 =
----- 2 * 10  0  = 2 * 1 = 2
------ 1 * 10  1  = 1 * 10 = 10
------- 3 * 10  2  = 3 * 100 = 300
-----
312 (суммируя)
-----

 

десятичный Система счисления [База-10]
В этой системе счисления используется ДЕСЯТЬ. разные символы для представления значений.Установленные значения, используемые в десятичный:

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
 

, где 0 имеет наименьшее значение, а девять — наибольшее. значение. Цифра или столбец слева имеет наибольшее значение, в то время как цифра справа имеет наименьшее значение.

Если при вычислении высшая цифра (9) превышено, происходит перенос, который переносится в следующий столбец (Слева).

  Пример добавления и превышения диапазона базовой настройки 

8 + 4

8
9 +1
10 +2 Примечание 1:
11 +3
12 +4

Примечание 1: при превышении 9 мы возвращаемся к началу набора (0),
и перенесите значение 1 в следующий столбец слева. Другой пример добавления и превышения диапазона базовой установки 

198 + 4

198
199 +1
200 +2 Примечание 2:
201 +3
202 +4

Примечание 2: при превышении 9 мы возвращаемся к началу набора (0),
и перенесите значение 1 в следующий столбец слева. Таким образом
в средний столбец (9) добавлен 1, следующее значение в наборе - 0, и
мы переносим 1 (потому что набор был превышен) в следующий левый столбец.Добавление
значение переноса от 1 до 1 в крайнем левом столбце дает.


 

Позиционные значения [единицы, десятки, сотни, тысячи и т. Д. Колонны]
Наверное, в школе нас учили позиционным ценностям, в том, что столбцы представляют степени 10. Это выражается нам как столбцы единиц (0-9), десятки (группы по 10), сотни (группы 100) и так далее.

 237 = (2 группы по 100) + (3 группы по 10) + (7 групп по 1)
= (100 + 100) + (10 + 10 + 10) + (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1)
= (200) + (30) + (7)
= 237

 

Каждый столбец, перемещаемый влево, в 10 раз превышает предыдущее значение.

двоичный Система счисления [База-2]
В двоичной системе счисления используются ДВА значения для представления чисел. Значения:

, где 0 имеет наименьшее значение, а 1 — наибольшее значение. Столбцы используются так же, как и в десятичная система, в которой крайний левый столбец используется для представления наибольшего значения.

Как мы видели в десятичной системе, значения в наборе (0 и 1) повторяются как по вертикали, так и по горизонтальные направления.

0
1
10 Примечание: перейти к наименьшему значению в наборе, перенести влево
11
100 Примечание: перейти к наименьшему значению в наборе, перенести влево
101
110 Примечание: перейти к наименьшему значению в наборе, перенести влево
111

 

. В компьютере двоичная переменная, способная хранить двоичные данные. значение (0 или 1) называется BIT.

В десятичной системе столбцы представляют умножение. значения 10.Это произошло потому, что было 10 значений (0–9) в набор. В этой двоичной системе всего два значения (0 — 1) в наборе, поэтому столбцы представляют собой значения умножения 2.

1011 =
---- 1 * 2  0  = 1
----- 1 * 2  1  = 2
------ 0 * 2  2  = 0
------- 1 * 2  3  = 8
----
11 (в десятичной системе)



 

Числовые диапазоны в двоичном формате с использованием указанного числа битов
Сколько разных значений может быть представлено определенным числом бит?

количество различных значений = 2  n 

где  n  - количество бит

например.2  8 
= 256 разных значений

 

Правила сложения двоичных файлов

1011 + 101 =
1011
101

1.Начните с самого правого столбца и примените правила.
2. 1 + 1 равно 0 и переносит 1 в следующий столбец слева.

1011
101
------
0 и нести 1

что действительно похоже

1011
111
------
0

3. Теперь займитесь вторым столбцом.
4. 1 + 1 равно 0, перенесите 1 в следующий столбец слева.

1011
111
------
00 и нести 1

что действительно похоже

1011
111
1
------
00

5.Теперь сделайте третий столбец
6. 1 + 1 равно 0, перенесите 1 в следующий столбец слева.

1011
111
1
------
000 и нести 1

что действительно похоже

1011
111
1
------
000

7. Теперь займитесь последней колонкой слева.
8. 1 + 1 равно 0 и переносится 1 слева.

1011
101
------
10000

 

Правила двоичного вычитания

Правила двоичного умножения

Примеры задач для двоичного сложения и вычитание

Преобразование Десятичное в двоичное
Существует несколько способов преобразования между десятичным и двоичным числами.Начнем с преобразования десятичного значения 254 в двоичный.

Метод 1: Разделите число на 2, затем разделите полученное осталось на 2 и так далее, пока ничего не останется (0). Записывать остаток (который равен 0 или 1) на каждом этапе деления. Как только делений больше нет, перечислите оставшиеся значения в обратный порядок. Это двоичный эквивалент.

254/2, что дает 127 с остатком 0
127/2, что дает 63 с остатком 1
63/2 получается 31 с остатком 1
31/2 получается 15 с остатком 1
15/2 получается 7 с остатком 1
7/2 дает 3 с остатком 1
3/2 дает 1 с остатком 1
1/2 дает 0 с остатком 1

таким образом, двоичный эквивалент  11111110 

 Другой пример, 132 в десятичной системе счисления 
132/2, что дает 66 с остатком 0
66/2, что дает 33 с остатком 0
33/2, что дает 16 с остатком 1
16/2 - 8 с остатком 0
8/2 - 4 с остатком 0
4/2 дает 2 с остатком 0
2/2 дает 1 с остатком 0
1/2 дает 0 с остатком 1

таким образом, двоичный эквивалент  10000100 

 

Метод 2: Каждый столбец представляет степень двойки, поэтому используйте это как основа для расчета числа.Иногда бывает называется подходом 8: 4: 2: 1.
Запишите двоичное число. Где 1 появляется в столбец, добавьте значение столбца как степень двойки к итоговому значению.

Примеры задач для преобразования десятичных чисел в двоичные Преобразование

Двоичные числа

• громоздко записывать
• длинный
• не имеет большого значения для обычного пользователя
• понимаются компьютерами

O кталл Система счисления [База-8]
В восьмеричной системе счисления используется ВОСЕМЬ значения для представления чисел.Значения:

 0 1 2 3 4 5 6 7
 

, где 0 имеет наименьшее значение, а семь — наибольшее. значение. Столбцы используются так же, как и в десятичной системе, в этом крайнем левом столбце используется для представления наибольшего значения.

Как мы видели в десятичной системе, значения в наборе (0 и 1) повторяются как по вертикали, так и по горизонтальные направления.

0-7, 10-17, 20-27, 30-37......

 

Задача: Преобразовать восьмеричное число 176 в десятичное.

Каждый столбец представляет степень 8,

176 =
---- 6 * 8  0  = 6
----- 7 * 8  1  = 56
------ 1 * 8  2  = 64
----
126

 

Octal широко использовался в ранних мэйнфреймах. системы.

шестнадцатеричный Система счисления [База-16]
В шестнадцатеричной системе счисления используется ШЕСТНАДЦАТЬ. значения для представления чисел.Значения:

 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 А Б В Г Д Е Ф
 

, где 0 имеет наименьшее значение, а F — наибольшее значение. Столбцы используются так же, как и в десятичной системе счисления. система, в которой крайний левый столбец используется для представления наибольшая ценность.

Как мы видели в десятичной системе, значения в наборе (0 и 1) повторяются как по вертикали, так и по горизонтальные направления.

0 - F, 10 - 1 этаж, 20 - 2 этаж, 30 - 3 этаж......

 

Шестнадцатеричный формат часто используется для представления значений [чисел и адреса памяти] в компьютерных системах.

Преобразование шестнадцатеричного числа в десятичное
Задача: Преобразование 176 из шестнадцатеричного числа в десятичное.

Каждый столбец представляет степень 16,

176 =
---- 6 * 16  0  = 6
----- 7 * 16  1  = 112
------ 1 * 16  2  = 256
----
374

 

Преобразование двоичного числа в шестнадцатеричное
Проблема: Преобразование 10110 в шестнадцатеричное.

Каждая шестнадцатеричная цифра представляет 4 двоичных бита. Разделить двоичное число
на группы по 4 бита, начиная справа.1 0110
= 1 = 6
= 16 в шестнадцатеричной системе счисления

 

Преобразование десятичного числа в шестнадцатеричное
Задача: Преобразование десятичного числа 232 в шестнадцатеричное.

Используйте тот же метод, который использовался ранее, чтобы разделить десятичную дробь на
двоичный, но разделить на 16.

232/16 = 14 с остатком  8 
14/16 = 0 с остатком от  E  (14 в десятичной системе = E)

=  E8    16   

Во избежание путаницы мы часто добавляем суффикс для обозначения основания номера

162  h  h означает шестнадцатеричный
162  16  16 означает основание 16

162  d  d означает десятичное число
162  10  10 означает основание 10

162  o  o означает восьмеричное
162  8  8 означает основание 8

101  b  b означает двоичный
101  2  2 означает основание 2

 

Примеры задач для шестнадцатеричной системы Преобразование

Представляя положительные и отрицательные числа в двоичном формате
Когда для хранения значений используется несколько битов, наиболее значащий бит [бит, имеющий наибольшее значение, в крайний левый столбец] используется для хранения знака [положительный или отрицательный] числа.Остальные биты содержат фактическое значение.

Если число отрицательное, знак будет 1 , а для положительные числа, знак 0 .

Вопрос: Что такое диапазон чисел, доступных при использовании 8 бит.

Для 8 бит один бит предназначен для знака, 7 - для числа, поэтому диапазон значений равен

2  7  = 127 комбинаций

 

Из-за проблем с сложением и вычитанием отрицательный числа обычно хранятся в формате, отличном от положительного числа.

Дополнительная информация о представлении чисел

Дополнение
Дополнение до 1 — это метод хранения отрицательных значений. Это просто инвертирует все 0 в 1 и все 1 в 0.

Дополнение до двух
Дополнение до 2 — это еще один метод хранения отрицательных значений.Это получается добавлением 1 к значению дополнения до 1.

Другой способ создания дополнительного числа до 2 — начать наименьший значащий бит и скопируйте все 0 до достигается первая 1.Скопируйте первую 1, затем инвертируйте все оставшиеся биты.

В следующей таблице показаны как единицы, так и двойки. дополнить, используя диапазон 4 бита.

Примечание: Посмотрите, как в случае дополнения до 1 есть два представления для 0

Серый Код
Это циклический взвешенный код .Это значит, что он устроен так что каждый переход от одного значения к следующему включает только изменение одного бита .

Код Грея иногда называют отраженным двоичным кодом , потому что первые восемь значений сравниваются с последними 8 значения, но в обратном порядке.

Код Грея часто используется в механических приложениях, таких как энкодеры вала.

Арифметика по модулю 2
Это двоичное сложение, но перенос игнорируется.

Преобразование серого в двоичное

1. запишите число серым кодом
2. старший бит двоичного числа является самым старшим значащий бит кода Грея
3. добавить (используя по модулю 2) следующий значащий бит двоичное число до следующего значащего бита серого закодированное число для получения следующего двоичного бита
4. повторяйте шаг 3, пока все биты серого закодированного числа не добавлено по модулю 2
5. результирующее число является двоичным эквивалентом серого номер

 Пример, преобразование 1101101 кода Грея в двоичный 

Серый двоичный
1.1101101
2.  1  101101 1 копия в старшем младшем разряде
3. 1  1  1101  1  0 1 по модулю 2 1 = 0
4. 11  0  1101 1  0  0 0 по модулю 2 0 = 0
3/4 110  1  101 10  0  1 0 по модулю 2 1 = 1
3/4 1101  1  01100  1  0 1 по модулю 2 1 = 0
3/4 11011  0  1 1001  0  0 0 по модулю 2 0 = 0
3/4 110110  1  10010  0  1 0 по модулю 2 1 = 1

Ответ: 1001001

 

Преобразование двоичного изображения в серый

1. запишите число в двоичном коде
2. старший бит серого числа является самым старшим значащий бит двоичного кода
3. добавить (используя по модулю 2) следующий значащий бит двоичное число до следующего значащего бита двоичного число для получения следующего бита с кодом серого
4. повторяйте шаг 3 до тех пор, пока все биты двоичного числа не закодированы. были добавлены по модулю 2
5. результирующее число является серым эквивалентом двоичное число

 Пример, преобразование двоичного кода 1001001 в код Грея 

Бинарный серый
1.1001001
2.  1  001001 1 копировать вниз старший бит
3.  10  01001 11 1 по модулю 2 0 = 1
4. 1  00  1001110 0 по модулю 2 0 = 0
3/4 10  01 001 1101 0 по модулю 2 1 = 1
3/4 100  10  01 11011 1 по модулю 2 0 = 1
3/4 1001  00  1 110110 0 по модулю 2 0 = 0
3/4 10010  01  1101101 0 по модулю 2 1 = 1

Ответ 1101101

 

Превышение 3 Серый код
Во многих приложениях желательно иметь код, который является двоично-десятичным кодом, а также единицей расстояния.Блок А код расстояния получил свое название от того факта, что существует изменение только одного бита между двумя последовательными числами. Превышение 3 Код Грея является таким кодом, значения для нуля и девяти различаются только 1 бит, как и все значения для последовательных чисел.

Выходы линейных устройств или угловых энкодеров могут кодироваться более 3 кодов Грея для получения многозначных чисел BCD.

Главная | Другие курсы | Обратная связь | Примечания | Тесты

© Copyright B Brown / Peter Henry.1984–1999 годы. Все права защищены.

Что такое система счисления? — Определение, факты и примеры

Система счисления

Десятичная система счисления состоит из 10 цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 и является наиболее часто используемой системой счисления. Мы используем комбинацию этих 10 цифр для образования всех остальных чисел. Значение цифры в числе зависит от ее положения в номере. Таблица значений десятичной системы счисления выглядит так:

Каждое место слева в десять раз больше, чем место справа от него, то есть, когда мы перемещаемся справа налево, разрядное значение увеличивается в десять раз с каждым местом.

• Десятичная система счисления также называется системой счисления с основанием 10.

• Число 49 365 читается как сорок девять тысяч триста шестьдесят пять, где значение 4 — сорок тысяч, 9 — девять тысяч, 3 — триста, 6 — шестьдесят и 5 — пять.

В двоичной системе счисления мы используем только две цифры 0 и 1. Это означает двойную систему счисления.

Пример двоичного числа: 1011; 101010; 1101101

Каждая цифра двоичного числа называется битом.Итак, двоичное число 101 имеет 3 бита. 499787080

В компьютерах и других цифровых устройствах используется двоичная система. В двоичной системе счисления используется основание 2.

Слово шестнадцатеричное происходит от шестнадцатеричного, означающего 6, и десятичного значения 10. Итак, в шестнадцатеричной системе счисления 16 цифр. Он состоит из цифр от 0 до 9 и первых 5 букв алфавита:

В таблице ниже числа от 1 до 20 показаны в десятичном, двоичном и шестнадцатеричном формате.