Законы Кирхгофа, объясняем простыми словами | Энергофиксик

С помощью первого и второго законов Кирхгофа, а также закона Ома можно найти параметры схемы любой сложности. Поэтому знание, а самое главное понимание этих трех законов строго обязательно для всех кто занимается электроникой. В этой статье я постараюсь максимально просто объяснить и на простейших схемах показать, как работают законы Кирхгофа. Итак, давайте начнем.

Первый закон Кирхгофа

Итак, Первый закон Кирхгофа говорит нам о том, что сумма токов в любом узле абсолютно любой электрической цепи равна нулю. Или так же говорит, что алгебраическая сумма втекающих токов равна алгебраической сумме вытекающих из узла токов.

Узлом в сети называется такой участок цепи, в котором соединяются три и более проводника. Ток, входящий в узел, обозначается стрелочкой, имеющей направление к узлу, а вытекающий — стрелочкой, имеющей направление от узла

И теперь на основании первого закона Кирхгофа запишем следующее уравнение:

Эта же формула может быть записана следующим образом:

При этом положительные и отрицательные знаки токам присвоены условно и если вы поменяете их с точностью до наоборот, то ничего принципиально не изменится.

Для того, чтобы наглядно увидеть работу Первого закона Кирхгофа, давайте соберем простейшую схему.

В качестве источника питания вы можете выбрать абсолютно любой элемент, начиная от пальчиковой батарейки и заканчивая блоком питания с возможностью регулировки.

Примечание. Не обязательно использовать резисторы с номиналом, который указан на схеме. Вы можете подобрать абсолютно любые, какие есть у вас в наличии.

Итак, согласно 1 закону Кирхгофа у нас должно быть верно, следующее уравнение:

Либо верно:

Для проведения практических измерений нам нужно в место на схеме где указан амперметр подключить, например, мультиметр.

Как мы видим по показаниям мультиметра закон работает.

Второй закон Кирхгофа

С пониманием второго закона у многих радиолюбителей в самом начале пути возникают трудности. Но если объяснить по-простому, то все более чем просто, сейчас докажу.

Итак, определение второго закона Кирхгофа звучит так:

В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме напряжений на всех пассивных элементах цепи.

Согласитесь, звучит не очень понятно, а вот если сказать проще то:

Сумма ЭДС в замкнутом контуре равна сумме падений напряжений и формула, выражающая этот закон, будет иметь такой вид

Или же

Для понимания давайте разберем самую простую схемку с одним пассивным элементом (резистором) и источником питания в виде пальчиковой батарейки.

Так как у нас резистор один, то падение напряжение на его выводах будет равно величине ЭДС элемента питания (батарейки), то есть 1,5 В = 1,5 В.

Если несколько усложнить схему и добавить к резистору еще один с аналогичным сопротивлением, то в этом случае, то напряжение в 1,5 Вольта поделится пополам на резисторах и будет равно 0,75 В.

Так же произойдет деление напряжения, если мы в цепочку включим третий резистор с одинаковым сопротивлением.

Формула обретет следующий вид:

Давайте для понимания соберем эту схему и произведем измерения.

Как видите, согласно второму закону Кирхгофа, небольшое расхождение в показаниях мультиметра спишем на погрешность прибора (китай как никак).

Кроме одного источника питания в цепи их может быть несколько как, например, в этой схеме

В этом случае у нас два источника питания подключены последовательно встречно, в таком варианте к нашим резисторам будет приложена разность ЭДС, то есть формула обретет следующий вид:

Второй закон Кирхгофа функционирует в цепях независимо от того сколько источников ЭДС и нагрузок будет в схеме. Так же нет принципиальной разницы, где они будут располагаться.

Так же первый и второй законы Кирхгофа одинаково применимы как для постоянного, так и для переменного тока.

Статья оказалась полезна или интересна, тогда ставим лайк и спасибо за уделенное внимание!

Правило токов Кирхгофа (первый закон Кирхгофа)

Добавлено 15 января 2021 в 07:01

Сохранить или поделиться

Что такое правило токов Кирхгофа (первый закон Кирхгофа)?

Закон Кирхгофа, часто называемый правилом токов Кирхгофа, гласит, что «алгебраическая сумма всех токов, входящих и выходящих из узла, равна нулю».

Этот закон используется для описания того, как заряд входит и покидает точку соединения (узел) проводов.

Вооружившись этой информацией, давайте теперь рассмотрим пример применения этого закона на практике, почему он важен и как он был разработан.

Обзор параллельной цепи

Давайте подробнее рассмотрим последний пример параллельной схемы:

Рисунок 1 – Пример параллельной схемы

Решение для всех значений напряжений и токов в этой схеме:

Рисунок 2 – Значения напряжений и токов

На данный момент мы знаем значения токов каждой ветви и полного тока в цепи. Мы знаем, что полный ток в параллельной цепи должен равняться сумме токов ветвей, но в данной цепи происходит нечто большее. Взглянув на токи в каждой точке (узле) соединения проводов в цепи, мы должны увидеть что-то еще:

Рисунок 3 – Пример параллельной схемы

Токи, входящие в узел и выходящие из него

В каждом узле положительной «шины» (провод 1-2-3-4) у нас есть отделение тока от основного потока к резистору каждой последующей ветви. В каждом узле отрицательной «шины» (провод 8-7-6-5) у нас есть объединение токов из каждой последующей ветви вместе, чтобы сформировать основной поток. Этот факт должен быть довольно очевиден, если взять для аналогии контур водопровода с узлами, действующими как тройники, в которых происходит разделение или объединение водяного потока с основным трубопроводом, когда он движется от выхода водяного насоса обратно в резервуар.

Если мы внимательно рассмотрим один конкретный узел «тройник», такой как узел 6, то увидим, что токи, входящие в узел, равны по величине току, выходящему из узла:

Рисунок 4 – Узел

Сверху и справа у нас есть два тока, входящие в соединение проводов, обозначенное как узел 6. Слева у нас есть один ток, выходящий из узла, равный по величине сумме двух входящих токов. Если обратиться к аналогии с водопроводом: пока в трубопроводе нет утечек, поток, поступающий в фитинг, должен также выходить из него. Это верно для любого узла («фитинга»), независимо от того, сколько потоков входит или выходит. Математически мы можем выразить это общее соотношение следующим образом:

I_{входящий} = I_{выходящий}

Правило токов Кирхгофа (первый закон Кирхгофа)

Кирхгоф решил выразить его в несколько иной форме (хотя и математически эквивалентной), назвав это правилом токов Кирхгофа:

I_{входящий} + (–I_{выходящий}) = 0

Кратко говоря, закон токов Кирхгофа гласит:

«Алгебраическая сумма всех токов, входящих и выходящих из узла, равна нулю»

То есть, если мы присвоим каждому току математический знак (полярность), обозначающий, входит ли он (+) или выходит (-) из узла, мы можем сложить их вместе, чтобы гарантированно получить в сумме ноль.

Взяв наш пример узла (номер 6), мы можем определить величину тока, выходящего слева, выразив уравнение первого закона Кирхгофа с этим током в качестве неизвестного значения:

I₂ + I₃ + I = 0

2 мА + 3 мА + I = 0

Решаем уравнение для I…

I = -2 мА — 3 мА

I = -5 мА

Отрицательный (-) знак в значении 5 миллиампер говорит нам, что ток выходит из узла, в отличие от токов в 2 и 3 миллиампер, которые оба должны быть положительными (и, следовательно, входить в узел). Неважно, обозначает ли отрицательное или положительное значение входящий или выходящий ток, если для противоположных направлений используются противоположные знаки, и мы остаемся последовательными в наших обозначениях. Правило токов Кирхгофа (первый закон Кирхгофа) будет работать.

Вместе законы напряжений и токов Кирхгофа представляют собой прекрасную пару инструментов, полезных при анализе электрических цепей. Их полезность станет еще более очевидной в следующей главе («Анализ цепей»), но достаточно сказать, что эти законы заслуживают того, чтобы человек, изучающий электронику, запомнил не меньше их, чем закон Ома.

Резюме

• Правило токов Кирхгофа (первый закон Кирхгофа): «Алгебраическая сумма всех токов, входящих и выходящих из узла, равна нулю»

Оригинал статьи:

Теги

Анализ цепейДля начинающихОбучениеПараллельная цепьПолярностьПравило токов Кирхгофа / Первый закон КирхгофаЭлектрический ток

Сохранить или поделиться

Законы Кирхгофа и их применение

Для расчета разветвленной сложной электрической цепи существенное значение имеет число ветвей и узлов.
Ветвью электрической цепи и ее схемы называется участок, состоящий только из последовательно включенных источников ЭДС и приемников с одним и тем же током. Узлом цепи и схемы называется место или точка соединения трех и более ветвей (узлом иногда называют и точку соединения двух ветвей).
При обходе по соединенным в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи; каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза.

На рис. 1.13 в качестве примера показана схема электрической цепи с пятью узлами и девятью ветвями. В частных случаях встречаются ветви только с резистивными элементами без источников ЭДС (ветвь 1 — у) и с сопротивлениями, практически равными нулю (ветвь 2 — р). Так как напряжение между выводами ветви 2 — р равно нулю (сопротивление равно нулю), то потенциалы точек 2 и р одинаковы и оба узла можно объединить в один.
Режим электрической цепи произвольной конфигурации полностью определяется первым и вторым законами Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна пулю:

В этом уравнении одинаковые знаки должны быть взяты для токов, имеющих одинаковые положительные направления относительно узловой точки. В дальнейшем будем в уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, записывать токи, направленные к узлу, с отрицательными знаками, а направленные от узла, — с положительными.
Если к данному узлу присоединен источник тока, то ток этого источника также должен быть учтен. В дальнейшем будет показано, что в ряде случаев целесообразно писать в одной части равенства (1.19а) алгебраическую сумму токов в ветвях, а в другой части алгебраическую сумму токов, обусловленных источниками токов:

где I — ток одной из ветвей, присоединенной к рассматриваемому узлу, a J — ток одного из источников тока, присоединенного к тому же самому узлу; этот ток входит в (1.196) с положительным знаком, если направлен к узлу, и с отрицательным, если направлен от узла.
Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех элементах и участках цепи, входящих в этот контур, равна нулю:

при этом положительные направления для напряжений на элементах и участках выбираются произвольно; в уравнении (1.20а) положительные знаки принимаются для тех напряжений, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура.

Часто применяется другая формулировка второго закона Кирхгофа: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках с сопротивлениями, входящими в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:

В этом уравнении положительные знаки принимаются для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура.
В теории электрических цепей решаются задачи двух типов. К первому типу относятся задачи анализа электрических цепей, когда, например, известны конфигурация и элементы цепи, а требуется определить токи, напряжения и мощности тех или иных участков. Ко второму типу относятся обратные задачи, в которых, например, заданы токи и напряжения на некоторых участках, а требуется найти конфигурацию цепи и выбрать ее элементы. Такие задачи называются задачами синтеза электрических цепей. Отметим, что решение задач анализа намного проще решения задач синтеза.
В практической электротехнике довольно часто встречаются задачи анализа. Кроме того, для овладения приемами синтеза цепей необходимо предварительно изучить методы их анализа, которые преимущественно и будут в дальнейшем рассматриваться.
Задачи анализа могут быть решены при помощи законов Кирхгофа. Если известны параметры всех элементов цепи и ее конфигурация, а требуется определить токи, то при составлении уравнений по законам Кирхгофа рекомендуется придерживаться такой последовательности: сначала выбрать произвольные положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи, затем составить уравнения для узлов на основании первого закона Кирхгофа и, наконец, составить уравнения для контуров на основании второго закона Кирхгофа.
Пусть электрическая цепь содержит В ветвей и У узлов. Покажем, что на основании первого и второго законов Кирхгофа можно составить соответственно У — 1 и В — У + 1 взаимно независимых уравнений, что в сумме дает необходимое и достаточное число уравнений для определения В токов (во всех ветвях).
На основании первого закона Кирхгофа для У узлов (рис. 1.13) можно написать У уравнений:

Так как любая ветвь связывает между собой только два узла, то ток каждой ветви должен обязательно войти в эти уравнения 2 раза, причем I₁₂=-I₂₁; I₁₃=-I₃₁ и т.д.
Следовательно, сумма левых частей всех У уравнений дает тождественно нуль. Иначе говоря, одно из У уравнений может быть получено как следствие остальных У — 1 уравнений или число взаимно независимых уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа, равно У — 1, т. е. на единицу меньше числа узлов. Например, в случае цепи по рис. 1.14,о с четырьмя узлами

Добавим к этим У — 1 = 3 уравнениям уравнение

Суммируя четыре уравнения, получаем тождество 0 = 0; следовательно, из этих четырех уравнений любые три независимые, например первые три (1.21а).
Так как беспредельное накопление электрических зарядов не может происходить как в отдельных узлах электрической цепи, так и в любых ее частях, ограниченных замкнутыми поверхностями, то первый закон Кирхгофа можно применить не только к какому-либо узлу, но и к любой замкнутой поверхности — сечению.

Моделирование в электроэнергетике — Расчет электрической цепи. Первый и второй законы Кирхгофа. Метод контурных токов и метод узловых потенциалов.

Расчет электрической цепи. Первый и второй законы Кирхгофа. Метод контурных токов и метод узловых потенциалов.

 

Электрическая цепь представляет собой совокупность электрических элементов (резисторов, катушек индуктивностей, батарей конденсаторов, постоянные и переменные источники напряжения и т.д.), которые соединены между собой таким образом, что в полученном замкнутом контуре протекает электрический ток.

Для определения действующих (или мгновенных) значений токов и падений напряжений на элементах электрической цепи необходимо выполнить следующую последовательность действий:

• Этап 1. Составить схему замещения электрической цепи, в которой реальные элементы заменяются идеализированными элементами электрической цепи (активное сопротивление, индуктивность, емкость, ЭДС и т.д.).

• Этап 2. Обозначить на схеме замещения условно положительное направление токов в ветвях и падение напряжения на элементах расчетной схемы замещения. Следует отметить, что в качестве положительного направления падения напряжения выбирают направление, которое совпадает с направлением тока в ветви расчетной схемы замещения.

• Этап 3. Записать систему уравнений, которая связывает напряжения и токи, по одному из следующих способов:

– 1-ого и 2-ого закона Кирхгофа;

– метод контурных токов;

– метод узловых потенциалов.

Каждый из представленных методов позволяет получить необходимый результат, но при разном количестве записанных уравнений в исходной системе уравнений. Следует отметить, что данные методы справедливы как для мгновенных значений токов и напряжений, так и для векторных переменных токов и напряжений.

• Этап 4. Выполнить расчет записанной системы уравнений и определить величины напряжения, токов, перетоков активной и реактивной мощности в ветвях расчетной схемы.

Составление системы уравнений, используя первый и второй закон Кирхгофа.

Первый и второй законы Кирхгофа обеспечивают связь между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи. Впервые законы были сформулированы Густавом Кирхгофом в 1845 году.  Данные законы вытекают из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля (третье уравнение Максвелла при неизменном магнитном поле).

Первый закон Кирхгофа — алгебраическая сумма токов в каждом узле расчетной схемы равна нулю. Данное утверждение справедливо как для мгновенных значений, так и для векторных значений.

где p – количество ветвей, которые присоединены к рассматриваемому узлу расчетной схемы.

При составлении уравнений согласно первому закону Кирхгофа со знаком «плюс» записываются токи, направленные к узлу, а со знаком «минус» записываются токи, направленные от узла.

Формулировка данного закона может быть переписана в следующем виде: алгебраическая сумма токов, втекающих в узел расчетной схемы, равна алгебраической сумме токов, вытекающих из узла расчетной схемы.

Рис.1. Пояснение к первому закону Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа — алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС действующих в этом контуре. Данное утверждение справедливо как для мгновенных значений, так и для векторных значений.

где n – число ветвей в замкнутом контуре;

m – число источников ЭДС.

При составлении уравнений согласно второму закону Кирхгофа со знаком «плюс» записываются падения напряжения (или ЭДС) направление которых совпадает с направлением обхода контура, а со знаком «минус» записываются падения напряжения (или ЭДС) направление которых противоположно направлению обхода контура

Рис.2. Пояснение ко второму закону Кирхгофа

В качестве примера рассмотрим расчетную схему замещению, которая состоит из двух источников ЭДС и трех сопротивлений. Произвольно выберем положительные направления токов и падений напряжений во всех ветвях расчётной схемы, а также выберем направление обхода во всех контурах.

Рис.3. Расчетная схема замещения для пояснения первого и второго закона Кирхгофа.

Рассматриваемая схема замещения состоит из 2 узлов (q = 2) и 3 ветвей (p = 3). В соответствии с первым законом Кирхгофа можно записать одно уравнение (q – 1):

В соответствии со вторым законом Кирхгофа можно записать два уравнения (p – q + 1):

В результате была получена система уравнений, которая позволяет определить токи во всех ветвях расчетной схемы исходя из заданных значений ЭДС и сопротивлений.

Составление системы уравнений, используя метод контурных токов

Метод контурных токов позволяет упростить расчет электрических цепей по сравнению с методом по первому и второму законам Кирхгофа за счет уменьшения числа уравнений. Данный метод основан на применении второго закона Кирхгофа.

При выполнении расчета методом контурных токов необходимо выбрать одинаковое направление обхода в каждом рассматриваемом контуре (либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелке). Далее в соответствии с данным методом записывается система уравнений относительно контурных токов, которые протекают в каждом независимом контуре, используя следующие правила:

Правило №1. В левой части i-го уравнения записываются:

— со знаком «+» записывается произведение контурного тока i-го контура на сумму сопротивлений всех звеньев, входящих в контур;

— со знаком «-» записывается остальные контурные токи, умноженные на суммы сопротивлений звеньев, по которым i-ый контур пересекается с этими контурами.

— ток i-го контура, для которого записывается уравнение;

— сопротивления звеньев, входящих в i-ый контур;

— токи соседних контуров, который пересекаются с 

i-ым контуром;

— сопротивления звеньев, по которым i-ый контур пересекается с другими контурами.

Правило №2. В правой части i-го уравнения записывается сумма источников ЭДС с учётом знаков («плюс» — если направления ЭДС и обхода контура совпадают, в противном случае – «минус»), а также добавляются источники тока, умноженные на сопротивление соответствующего звена с учётом знаков («плюс» — если направления источника тока и обхода контура совпадают, в противном случае – «минус»)

— источники ЭДС, которые входят в i-ый контур;

 — произведение тока и сопротивление ветви с источником тока, которые входят в 

i-ый контур.

Заключительным этапом определяются токи во всех ветвях расчетной схемы по найденным значениям контурных токов.

В качестве примера рассмотрим расчетную схему замещению, которая состоит из двух источников ЭДС и трех сопротивлений. Произвольно выберем положительные направления обхода в каждом рассматриваемом контуре: направление по часовой стрелке.

Рис.4. Расчетная схема замещения для пояснения метода контурных токов.

Рассматриваемая схема замещения состоит из 2 узлов (q = 2) и 3 ветвей (p = 3), таким образом, в расчетной схеме замещения можно выделить два независимых контура. В соответствии с методом контурных токов можно записать два уравнения (

p – q + 1):

В результате была получена система уравнений, которая позволяет определить контурные токи исходя из заданных значений ЭДС и сопротивлений. Заключительным этапом расчета будет являться процесс определения токов во всех ветвях расчетной схемы по найденным значениям контурных токов.

Составление системы уравнений, используя метод узловых потенциалов

Метод узловых потенциалов позволяет упростить расчет электрических цепей по сравнению с методом по первому и второму законам Кирхгофа за счет уменьшения числа уравнений. Данный метод основан на применении первого закона Кирхгофа.

При выполнении расчета методом узловых потенциалов необходимо выбрать один узел, в котором потенциал узла приравнивается к нулю. Остальные потенциалы узлов расчетной схемы определяются относительно узла с нулевым потенциалом. Далее в соответствии с данным методом записывается система уравнений, относительно потенциалов узлов расчетной схемы, используя следующие правила:

Правило №1. В левой части i-го уравнения записываются:

—  со знаком «+» потенциал i-го узла, для которого составляется данное i-е уравнение, умноженный на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к данному i-му узлу;

— со знаком «-» потенциал соседних узлов, каждый из которых умножен на сумму проводимостей ветвей, присоединенных к i-муи k-му узлам.

— потенциал i-го узла, для которого записывается уравнение;

— сумму проводимостей ветвей, присоединенных к данному i-му узлу;

— потенциал k-го узла, который связан через ветвь с i-ым узлом;

— проводимость ветви, которая связывает i-ый и k-ый узел.

Правило №2. В правой части i-го уравнения записывается так называемый узловой ток, который равный сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к i-му узлу, и проводимостей этих ветвей. При этом член суммы записывается со знаком “+”, если соответствующая ЭДС направлена к i-му узлу, в противном случае ставится знак “–”. Если в подходящих к i-му узлу ветвях содержатся источники тока, то знаки токов источников токов, входящих в узловой ток простыми слагаемыми, определяются аналогично.

— источники тока, которые присоединены к i-му узлу;

— произведение ЭДС и проводимости ветви с источником ЭДС, которые присоединены к i-му узлу.

В качестве примера рассмотрим расчетную схему замещению, которая состоит из двух источников ЭДС и трех сопротивлений. В одном из рассматриваемых узлов расчетной схеме обозначим нулевой потенциал.

Рис.5. Расчетная схема замещения для пояснения метода узловых потенциалов.

В соответствии с методом узловых потенциалов можно записать одно уравнение (q — 1):

В результате была получена система уравнений, которая позволяет определить потенциал узлов рассматриваемой схемы замещения исходя из заданных значений ЭДС и сопротивлений. Заключительным этапом расчета будет являться процесс определения токов во всех ветвях расчетной схемы по найденным значениям потенциалов узлов рассматриваемой схемы замещения.

Представленные выше методы позволяют определять токи и напряжения в ветвях расчетной схемы для любой электрической цепи постоянного и переменного тока.

 

Для того, чтобы добавить Ваш комментарий к статье, пожалуйста, зарегистрируйтесь на сайте.

Первый и второй закон Кирхгофа, с примерами

Корректнее данные утверждения, которые в заголовке названы первым и вторым законами Кирхгофа было бы называть правилами Кирхгофа. Данные правила применяют при расчетах параметров сложных разветвленных электрических цепей постоянного тока. Электрические цепи могут содержать множество сопротивлений, источников тока, иметь в своем составе несколько замкнутых контуров и узлов. Параметры, характеризующие подобную цепь можно вычислить, если использовать хорошо известные законы Ома и сохранения заряда. Правила Кирхгофа являются следствиями этих основных законов. Однако при помощи правил Кирхгофа можно существенной упростить процедуру составления уравнений, которые свяжут силы тока, сопротивления и электродвижущие силы (ЭДС) источников в разветвленной цепи постоянного тока. Существует два правила Кирхгофа для электрических цепей постоянного тока. Первое правило Кирхгофа называют правилом узлов. Оно связывает в одно уравнение токи, сходящиеся в узле. Второе правило Кирхгофа относится к замкнутым контурам, которые можно выделить в сложной цепи.

Первый закон Кирхгофа

В разветвлённой электрической цепи в одной точке могут сходиться более двух проводников, по которым текут токи, такую точку цепи называют узлом (разветвлением) цепи. Помня, что сила тока является алгебраической величиной, запишем ее сумму в узле с учетом знаков:

   

где N – число токов, которые сходятся в узле. Выражение (1) называют первым правилом Кирхгофа (правило узлов): сумма токов, текущих через сопротивления в цепи постоянного тока, с учетом их знака, сходящихся в узле, равна нулю.

Знак у тока (плюс или минус) выбирают произвольно, но при этом следует считать, что все входящие в узел токи имеют одинаковые знаки, а все исходящие из узла токи имеют противоположные входящим, знаки. Допустим, все входящие токи мы примем за положительные, тогда все исходящие их этого узла токи будут отрицательными.

Первое правило Кирхгофа дает возможность составить независимое уравнение, если в цепи m узлов.

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда.

Второй закон Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа формулируется для замкнутых контуров, поэтому его называют правилом контуров: Суммы произведений алгебраических величин сил тока на внешние и внутренние сопротивления всех участков замкнутого контура равны алгебраической сумме величин сторонних электродвижущих сил (ЭДС) (), которые входят в рассматриваемый контур. В математическом виде второй закон Кирхгофа записывают как:

   

Величины называют падениями напряжения. До применения второго закона Кирхгофа выбирают положительное направление обхода контура. Это направление берется произвольно, либо по часовой стрелке, либо против нее. Если направление обхода совпадает с направлением течения тока в рассматриваемом элементе контура, то падение напряжения в формулу второго правила для данного контура входит со знаком плюс. ЭДС считают положительной, если при движении по контуру (в избранном направлении) первым встречается отрицательный полюс источника. Более правильно было бы сказать, что ЭДС считают положительной, если работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда на рассматриваемом участке цепи в заданном направлении обхода контура является положительной величиной.

Второе правило Кирхгофа — это следствие закона Ома.

Примеры решения задач

Электротехника: Первый закон Кирхгофа.

1) Первый закон (правило) Кирхгофа — алгебраическая сумма токов сходящихся в узле равна нулю.

Ветви — это проводящие участки цепи между узлами.

Узел — это область соединения двух (или трёх) и более ветвей.

Алгебраическая сумма — это значит в неё входят слагаемые со знаком плюс и со знаком минус.

На рисунке ниже показан узел в котором соединяются четыре ветви с токами: I1, I2, I3, I4.

Рисунок 1 — Узел с ветвями

Направления токов показаны стрелочками. От узла направлены токи I1 и I2, к узлу направлены токи I3 и I4. Примем направления к узлу — положительными, а от узла — отрицательными. Запишем, с учётом выбранных положительных и отрицательных направлений токов, уравнение по первому закону Кирхгофа для узла на рисунке 1:
Ток I1 вошел в уравнение (1) со знаком минус так как этот ток направлен от узла (см. рисунок 1).
Ток I2 входит в уравнение (1) со знаком минус по той же причине. Токи I3 и I4 входят в уравнение (1) со знаком плюс так как они направлены к узлу (см. рисунок 1). Вся эта алгебраическая сумма равна нулю.
     Токи I1 и I2 можно перенести в правую часть уравнения с противоположным знаком:

Также можно поступить и с любым уравнением записанным по первому закону Кирхгофа.

Учитывая это можно дать другое определение первого закона (правила) Кирхгофа:

2) сумма токов входящих в узел равна сумме токов выходящих из него.

Уравнение (2) можно привести к виду:

перенеся в правую часть уравнения токи I3 и I4 с противоположным знаком.
   Уравнение (3) можно привести к виду:

Тоже самое можно проделать с любым уравнением записанным по первому закону Кирхгофа. Это значит что не имеет значения то какое направление (от узла или к узлу) принято за положительное а какое за отрицательное, главное чтобы все одинаковые направления имели один знак а все противоположные другой. 

    Иногда бывает так что один узел принимается за два и более при невнимательном осмотре схемы что приводит к ошибкам в расчётах. Рассмотрим схему на рисунке 2:

 Рисунок 2 — Схема с одним узлом

В этой схеме один узел, для этого узла можно составить уравнение по первому закону Кирхгофа:
Токи в узлах не протекают т.к. узел имеет один потенциал на всем его протяжении и на всей его площади.   

4. Первый закон Кирхгофа | 5. Схемы делителей и законы Кирхгофа | Часть1

4. Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа

Давайте подробнее рассмотрим пример параллельной схемы из предыдущей статьи:

В следующей таблице представлены значения всех токов и напряжений этой схемы:

 

 

На данный момент нам известны значения токов каждой ветви и общая сила тока схемы. Мы знаем, что общая сила тока параллельной цепи равна сумме токов отдельных ее ветвей, но и это еще не все. Посмотрев на токи в каждой точке (узле) схемы, мы увидим следующее:

 

 

В каждом узле отрицательного провода (точки 8-7-6-5) у нас есть ток, который отщепляется от основного потока электронов и идет в соответствующую ветвь схемы. В каждом узле положительного провода (точки 1-2-3-4) у нас есть ток, который выходи из соответствующей ветви схемы и объединяется с другими токами, формируя общий поток электронов.

Если мы внимательно посмотрим на один конкретный узел, например узел 3, то увидим, что величина тока входящего в узел равна величине тока, выходящего из него:

 

 

На данном рисунке мы видим два тока (I_R2 и I_R3), входящих в узел 3 справа и снизу. На выходе из этого узла, с его левой стороны, мы получаем один ток, равный по величине сумме двух входящих токов. Иными словами, какой ток вошел в узел, такой и должен из него выйти. Это правило справедливо для любого узла, независимо от количества входящих или выходящих из него потоков. Математически эту связь можно выразить следующим образом:

 

 

Товарищ Кирхгоф решил выразить это уравнение в несколько иной форме (математически эквивалентной), и назвал его Законом токов Кирхгофа, или Первым Законом Кирхгофа:

 

 

Словесно это закон можно сформулировать так:

«Алгебраическая сумма всех токов, входящих и выходящих из узла, должна равняться нулю»

Таким образом, ели мы назначим математический знак  (+) току входящему в узел и (-)  току выходящему из него, то сложив их вместе мы получим ноль.

Если мы теперь в качестве примера снова возьмем узел № 3, то зная величины двух входящих в него токов, сможем с помощью этого закона вычислить величину выходящего тока:

 

 

Отрицательный (-) знак величины 5 мА говорит нам о том, что ток выходит из узла. Токи 2 мА и 3 мА имеют положительные (+) знаки, потому что они входят в этот узел. Вы так же должны знать, что знаки входящим и выходящим токам назначаются условно. С такой же легкостью мы могли назначить отрицательные знаки входящим в узел токам, а положительные — выходящим. Закон все равно будет работать.

Законы Кирхофа и формулы делителей напряжения и тока в совокупности представляют мощный инструмент для анализа электрических цепей. Их полезность будет становиться все более очевидной в последующих наших статьях, поэтому они заслуживают такого же внимания, как и Закон Ома.

Радио Эда — Закон Кирхгофа

Закон Кирхгофа

Закона Ома достаточно для решения последовательных и параллельных цепей, но более сложные схемы, такие как мосты и T & Dash; сети, не могут быть решены одним только законом Ома. В 1845 году физик Густав Кирхгоф сформулировал пару законов, касающихся сохранения тока и энергии в электрической цепи. Эти два закона вместе называются законом Кирхгофа или законом цепи Кирхгофа. Закон Кирхгофа применяется к цепям постоянного тока и, в некоторых ограниченных обстоятельствах, к цепям переменного тока .

Прежде чем углубляться в закон Кирхгофа, нам нужно определить несколько вещей:

Узел

Место соединения двух или более компонентов.

Главный узел

Большой хонкинский узел, где встречаются три или более компонентов.

Ветвь

Любой путь в цепи, имеющий узел на каждом конце и содержащий по крайней мере один компонент (например, резистор или батарею), но не содержащий других узлов.

Loop

Замкнутый путь в цепи, где ни один компонент не встречается более одного раза.

Сетка

Простой путь в цепи без ответвлений.

1. Действующий закон Кирхгофа

Текущий закон Кирхгофа — это утверждение принципа сохранения электрического заряда. Алгебраическая сумма токов, входящих и выходящих из любой точки цепи, должна равняться нулю. Это означает, что если вы сложите все токи, текущие в точку, и сравните это значение с суммой всех токов, исходящих из этой точки, эти два значения должны быть равны.

На рисунке 6 ниже значения I ₁ и I ₂ , входящие в точку N , должны равняться значению I ₃ , выходящему из N . Если I ₁ равно 5 амперам, а I ₂ равно 3 амперам, то значение I ₃ должно равняться 8 амперам. Я ₁ + Я ₂ — Я ₃ = 0.

2. Закон Кирхгофа о напряжении

Закон Кирхгофа о напряжении также называется законом сохранения энергии.В замкнутом контуре внутри контура алгебраическая сумма всех напряжений внутри контура должна равняться нулю.

На рисунке 7 ниже все напряжения должны равняться нулю. Чтобы проверить это, выберите произвольную точку на цепи (например, точку A) и произвольное направление (против часовой стрелки). Из точки А двигайтесь по петле против часовой стрелки. Мы впервые встречаем V ₁ . Поскольку мы встретили положительный вывод V ₁ перед отрицательным выводом, мы записываем напряжение как положительное число.Продолжая движение против часовой стрелки, находим резистор R ₂ . Сначала мы достигли отрицательной клеммы R ₂ , поэтому мы записываем падение напряжения на R ₂ как отрицательное число. Далее идет резистор R ₁ (еще одно отрицательное падение напряжения). Наконец, мы возвращаемся в точку А, с которой начали. Уравнение закона Кирхгофа по напряжению будет следующим: В ₁ — В _R2 — В _R1 = 0.

Если бы мы двигались от точки A по часовой стрелке, а не против часовой стрелки, окончательное уравнение было бы следующим: V _R1 + V _R2 — V ₁ = 0.Как видите, абсолютная величина каждого напряжения одинакова независимо от направления вокруг контура. Только полярность (положительная или отрицательная) отличается в зависимости от выбранного вами направления.

Методы анализа цепей с использованием закона Кирхгофа

Существует три основных метода решения схем с использованием закона Кирхгофа:

Пример: Решить цепь методом токов ответвления

Метод ветвящихся токов может быть немного длинным и утомительным, но он служит для достаточно хорошей иллюстрации закона Кирхгофа.Как только вы поймете метод ветвления тока, два других метода станут простыми.

Для схемы на рисунке 8 ниже мы хотим определить ток и напряжения на каждом резисторе. Поскольку есть источники напряжения в двух разных ветвях, одного закона Ома недостаточно для решения этой проблемы. Мы должны использовать закон Кирхгофа.

Поскольку мы не знаем совокупного эффекта двух источников напряжения, мы не можем быть уверены в направлении тока в каждой ветви.Нам нужно будет сделать обоснованное предположение. Если это окажется неверным, ничего страшного & dash; результаты уравнения укажут на нашу ошибку.

Предположим, что ток I ₁ течет от отрицательной клеммы источника напряжения V ₁ к резистору R ₁ , затем к узлу A . Точно так же ток I ₂ течет от отрицательного вывода источника напряжения V ₂ к резистору R ₂ , а затем к узлу A .От узла A ток I ₃ протекает через резистор R ₃ , пока не достигнет узла B . Здесь ток делится и возвращается к двум источникам напряжения.

Использование действующего закона Кирхгофа

В схеме на фигуре 8 есть два основных узла, обозначенных A и B . В узле A два тока, I ₁ и I ₂ , входят, в то время как один ток, I ₃ , выходит из узла.Из текущего закона Кирхгофа мы выводим уравнение I 1 + I 2 - I 3 = 0 .

Точно так же в узле B один ток, I ₃ , входит в узел, а два тока, I ₁ и I ₂ , уходят. Это дает нам: I 3 - I 1 - I 2 = 0 . Мы можем использовать любое уравнение, чтобы выразить связь между I ₁ , I ₂ и I ₃ как I 3 = I 1 + I 2 .Мы будем называть это уравнение уравнением тока для целей обсуждения.

Использование закона Кирхгофа о напряжении

Чтобы вывести уравнения для падения напряжения на каждом резисторе, нам нужно сначала определить несколько контуров. На рисунке 8 есть две внутренние петли плюс внешняя петля, которая повторяет окружность схемы. Оказывается, нам нужны только два уравнения цикла, поэтому мы проигнорируем этот внешний цикл.

Первый внутренний цикл выходит из V ₁ , перемещается через R ₁ к узлу A , затем через R ₃ к узлу B перед возвратом к V ₁ .Мы назовем этот цикл 1. Второй внутренний цикл покидает V ₂ , перемещаясь через R ₂ к узлу A . Отсюда он движется через R ₃ к узлу B , а затем возвращается к V ₂ . Это будет контур 2. С этими контурами мы теперь можем использовать закон напряжения Кирхгофа, чтобы сформулировать уравнения для напряжений.

Чтобы сформулировать уравнение контура для контура 1, мы начинаем с узла B и перемещаемся по контуру в предполагаемом направлении потока тока I ₁ (по часовой стрелке).Наше уравнение принимает следующий вид:
V 1 - V R1 - V R3 = 0 .

Чтобы сформулировать уравнение контура 2, мы начинаем с узла B и перемещаемся против часовой стрелки (предполагаемое направление тока), что дает нам:
V 2 - V R2 - V R3 = 0 .

Следующий шаг — сформулировать уравнения падения напряжения:

V R1 = I 1 R 1
V R2 = I 2 R 2
= I ₃ R ₃

Теперь мы можем переписать уравнения контура, используя уравнения падения напряжения, известные значения компонентов и упрощение.Примечание: мы также можем использовать текущее уравнение ( I 3 = I 1 + I 2 ), сформулированное выше, чтобы заменить I 1 + I 2 на I 3 , исключая переменную. Мы также исключим символы вольт и ом для ясности.

Петля 1:

V 1 - V R1 - V R3 = 0
V 1 - I 1 R 1

4 90 I157 - 3 R 3 = 0
130-20 I 1 -10 I 3 = 0
13-2 I 1 - I 3 = 0
13-2 I 1 - ( I 1 + I 2 ) = 0
3 I 1 + I 2 = 13

Петля 2:

V 2 - V R2 - V R3 = 0
V 2 - I 2 R 2 - 3 R 3 = 0
20-5 I 2 -10 I 3 = 0
4- I 2 -2 I 3 = 0
4 - I 2 - 2 ( I 1 + I 2 ) = 0
2 I 1 + 3 I 2 = 4

Теперь у нас есть решаемая задача, состоящая из двух упрощенных петлевых уравнений с двумя переменными.Вот почему нам не понадобилось упомянутое ранее уравнение внешнего цикла. Если вы помните свою алгебру, вы можете манипулировать одним или обоими уравнениями цикла, чтобы при их сложении одна переменная была исключена. Мы сделаем это более длинным путем, переписав уравнение цикла 1 для решения для I ₂ следующим образом:
I 2 = 13 - 3 I 1 .

Теперь замените это значение на I ₂ в уравнении цикла 2, чтобы получить:
2 I 1 + 3 (13-3 I 1 ) = 4
2 I 1 + 39 - 9 I 1 = 4
7 I 1 = 35
I 1 = 5 ампер

Зная I ₁ , теперь мы можем решить уравнение цикла 1 для I ₂ .
I 2 = 13 - 3 I 1 = 13 - 3 (5) = -2 А

Теперь со значениями для I ₁ и I ₂ , мы можем использовать текущее уравнение, полученное выше, чтобы решить для I ₃ .
I 3 = I 1 + I 2 = 5 ампер + (-2) ампер = 3 ампер

Теперь мы знаем все токи ответвления, а как насчет этих падений напряжения?
V R1 = I 1 R 1 = 5 × 20 = 100 В
V R2 = I 2 R 2 R 2 R 2 = -2 × 5 = -10 В
В R3 = I 3 R 3 = 3 × 10 = 30 В

Наконец, что насчет отрицательного тока для I ₂ и отрицательного напряжения для В _R2 ? Что ж, отрицательные знаки означают, что наше первоначальное предположение о направлении I ₂ было неверным.На самом деле ток идет в обратном направлении. Наше неверное предположение также привело к обратной полярности падения напряжения В, _R2, , . Величины правильные, просто измените направление I ₂ , и вы получите окончательное решение!

Законы Кирхгофа — Учебники по аналоговой электронике

Законы цепи Кирхгофа — это два равенства, которые имеют дело с сохранением заряда и энергии в электрических цепях, и впервые были описаны в 1845 году Густавом Кирхгофом.Широко используемые в электротехнике, они также называются правилами Кирхгофа или просто законами Кирхгофа

.

Действующий закон Кирхгофа (KCL)

Ток, входящий в любой переход, равен току, выходящему из этого перехода.

\ begin {уравнение} i_1 + i_4 = i_2 + i_3 \ end {уравнение}

Этот закон также называется правилом точки Кирхгофа или правилом соединения Кирхгофа (или правилом узлов). В более общей форме закон сформулирован как Алгебраическая сумма тока в соединении равна нулю

\ begin {уравнение} \ sum_ {k = 1} ^ {n} I_k = 0 \ end {уравнение}

Уравнения 1 и 2 эквивалентны, поскольку ток — это величина со знаком (положительная или отрицательная), отражающая направление к узлу или от него

Закон напряжения Кирхгофа (KVL)

Сумма всех напряжений в контуре равна нулю.{n} V_k = 0 \ end {уравнение}

Этот закон также называют вторым законом Кирхгофа или правилом петли (или сетки) Кирхгофа. Другой способ заявить об этом законе — Сумма ЭДС в замкнутой цепи равна сумме падений потенциала

\ begin {уравнение} v_4 = v_1 + v_2 + v_3 \ end {уравнение}

Уравнения 3 и 4 эквивалентны, поскольку напряжение является величиной со знаком (положительной или отрицательной), в зависимости от того, является ли это ЭДС и падение потенциала.

Примеры KVL и KCL

Делитель напряжения

Делитель напряжения — это обычная конфигурация в аналоговых схемах.Он также известен как потенциальный делитель. Это линейная схема, которая производит выходное напряжение (Vout), составляющее часть входного напряжения (Vin). Деление напряжения относится к разделению напряжения между компонентами делителя.

Применив KCL, при осмотре можно заметить, что ток i, протекающий через резисторы R1 и R2, должен быть одинаковым. Применение КВЛ \ begin {уравнение} v_ {in} = i R_1 + i R_2 \ end {уравнение} \ begin {уравнение} i = {v_ {in} \ over {R_1 + R_2}} \ end {уравнение} Напряжение на R2 определяется выражением \ begin {align} v_ {out} & = i R_2 \\ \ label {vd} & = {R_2 \ over {R_1 + R_2}} v_ {дюйм} \ end {align} Эта формула называется правилом делителя напряжения

.

Эффект нагрузки

Двухрезисторный делитель напряжения часто используется для подачи напряжения, отличного от напряжения имеющейся батареи или источника питания.В приложении выходное напряжение зависит от сопротивления нагрузки (RL), которую он управляет.

Поскольку RL параллелен R2 (RL || R2), выходное напряжение теперь определяется выражением \ begin {уравнение} v_ {out} = {R_2 || R_L \ над {R_1 + R_2 || R_L}} v_ {in} \ end {уравнение} где \ begin {уравнение} R_2 || R_L = {R_2 R_L \ над {R_2 + R_L}} \ end {уравнение}

Из KCL мы знаем, что

\ begin {уравнение} I_1 = I_2 + I_L \ end {уравнение}

Однако, если IL (ток, протекающий через RL) можно игнорировать, тогда I1 = I2 и вместо него можно использовать более простое уравнение \ ref {vd}.Чтобы найти связь между I2 и IL

\ begin {align} V_ {out} = I_2 R_2 & = I_L R_L \\ {I_L \ over I_2} & = {R_2 \ over R_L} \ end {align}

В практических схемах, где мы можем принять допуск сопротивления 10%, IL можно игнорировать, если

\ begin {уравнение} I_L Таким образом, мы можем упростить наш анализ, используя уравнение \ ref {vd}, если \ begin {уравнение} 10 R_2 Входное сопротивление усилителя с общим эмиттером BJT

Распространенная ошибка, без учета ic, предполагать, что

\ begin {уравнение} R_ {in} = r_e \ end {уравнение}

Однако, когда мы рассматриваем ic и применяем KCL

\ begin {уравнение} i_e = i_b + i_c \ end {уравнение}

Тогда vre (напряжение на re) равно

\ begin {align} v_ {re} & = i_e r_e \\ & = (i_b + \ beta i_b) r_e \\ & = (1 + \ beta) i_b r_e \ end {align}

Предполагая β >> 1 \ begin {align} v_ {re} & = \ beta i_b r_e \\ R_ {in} = {v_ {re} \ over i_b} & = \ beta r_e \ end {align}

Контур Кирхгофа «Законы»

Контур Кирхгофа «Законы»

Схема Кирхгофа «Законы»
Джон Денкер

Схема Кирхгофа «Законы» дает простой приблизительный описание поведения напряжения и тока в электрических цепях.Людям очень нравится такой простой взгляд на вещи, и они часто стараются спроектировать свои схемы так, чтобы минимизировать важность различных нарушений «законов» Кирхгофа. Однако прямой пользы от этих «законов» гораздо меньше, чем у вас. мог представить. Сужается диапазон полезного применения сверху и снизу:

* Содержание

1 «Закон» Кирхгофа о напряжении

1.1 Основная идея

«Закон» напряжения Кирхгофа (KVL) — он же «Закон» петли Кирхгофа — утверждает, что напряжение вокруг любого замкнутого контура равно нулю.Есть некоторые очень серьезные ограничения действия этого «закона», так как обсуждается в разделе 1.5. Но сначала давайте разберемся что нам говорит этот «закон», в лучшем случае.

Давайте применим KVL к схеме на рисунке 1.

Рисунок 1: Последовательные резисторы: схема делителя напряжения

Возможно, вы захотите ознакомиться с основными понятиями напряжения, изложенными в ссылка 1. Напряжение определяется относительно дорожка. Выберем путь, а именно замкнутый контур, идущий по часовой стрелке, следуя проводам и элементам схемы.Затем КВЛ утверждает, что

(1)

Это нормально для начала, но мы можем получить дополнительную информацию по с учетом дополнительных путей. Давайте рассмотрим три отдельных подпути и соответствующие напряжения, а именно:

• ΔV ₁ : красный вспомогательный путь (связанный с R ₁ ),
• ΔV ₂ : пурпурный вспомогательный путь (связанный с R ₂ ) и
• ΔV _b : черный суб-путь (связанный с аккумулятором).

Эти три составляющих в сумме образуют весь цикл. Так если мы внимательно относимся к ориентации, мы можем написать

ΔV петля = Σ i ΔV i (правильно ориентированный) (2а) = ΔV 1 + ΔV 2 + ΔV b (2b)

При применении уравнения 2a нам необходимо сохранить различные ΔV вклады правильно ориентированы.Правило — обходить петлю в определенном направлении, складывая напряжение увеличивается . Положительное значение ΔV означает увеличение напряжения.

Узко говоря, это все, что мы можем получить, используя только KVL. Однако мы можем добиться дополнительного прогресса, если добавим Ома закон. Для каждого резистора:

V падение = I R = — ΔV

(3)

Закон Ома говорит нам о падении напряжения , связанном с каждым резистор.Это предполагает, что направления выбираются последовательно, поэтому что номинальное направление тока I такое же, как у прямое направление по пути, который мы используем для определения напряжения. Падение напряжения соответствует отрицательному значению ΔV. Подробнее о условные обозначения см. в примечании 1.

Если у вас возникли проблемы с отслеживанием того, что такое падение напряжения, а что — положительное ΔV, вы можете нарисовать небольшие положительные и отрицательные рядом с каждым резистором, как показано на рисунке 1. При небольшом опыте этот шаг становится ненужный.

Объединение закона Ома с KVL дает:

ΔV петля = ΔV 1 + ΔV 2 + ΔV b (4а) = — I 1 R 1 — I 1 R 2 + V b (4b) = 0 (4c)

1.2 Поэтапный подход

Мы можем переформулировать «закон» напряжения Кирхгофа следующим образом: выберите любой две точки в цепи (A и B). Мы предполагаем, что есть два или больше способов добраться от A до B, и мы называем их ноги схемы. Тогда «закон» напряжения Кирхгофа гласит, что увеличение напряжения в каждой ноге одинаковое.

Давайте применим это к рисунку 1. Выбираем точку A быть юго-восточным углом цепи, а точка B — северо-западный угол. Есть черная ножка (с батареей) и цветная ножка (содержащая два последовательно включенных резистора).Применяя это к схеме на рисунке 1 находим:

V b = I 1 R 1 + I 1 R 2 (5а) = I 1 ( 1 + 2 ) (5b)

Мы получили это напрямую путем сравнения участков.(Мы также могли бы получил его, переписав уравнение 4b.)

Инженеры-электрики из реального мира очень любят поэтапно подход. Вероятно, это связано с тем, что при пошаговом подходе когда есть несколько циклов, может раздражать отслеживание того, как петли сцепляются вместе. Напротив, легко сохранить отслеживать отношения между всеми различными ногами.

Когда φ • = 0, поэтапный подход полностью эквивалентно петлевому подходу.Все, что вы можете рассчитать в одну сторону можно посчитать и другим способом. Вы должны проверить это для сам.

Когда φ • ≠ 0, поэтапный подход дает более подробную картину происходящего. Это больше работы, но это информативнее.

Также напоминание: как обсуждалось в разделе 1.1, существует падение напряжения по мере того, как мы идем по цветному пути в направлении тока I. Точно так же существует положительное ΔV если мы пойдем по тропе в другом направлении, от точки А до точка Б.Все это основано на I, соответствующем положительному ток течет в направлении, указанном стрелкой на диаграмма.

1.3 Делитель напряжения

Теперь, когда мы знаем ток I ₁ , мы можем применить закон Ома, чтобы найти падение напряжения на R ₂ , а именно

Объединяя это с предыдущими результатами, получаем

(7)

Сказать то же самое словами: если дана цепочка последовательно соединенных резисторов, падение напряжения на одном заданном резисторе равно общему напряжению падение, поскольку сопротивление данного резистора к общему сопротивление.Это называется правилом делителя напряжения. Это очень широко полезно.

1.4. Эквивалентная схема: последовательные резисторы

Исходя из уравнения 5, мы можем применить закон Ома в обратном порядке к обнаруживаем, что последовательная комбинация резисторов, которую мы видим в На рисунке 1 представлена ​​та же нагрузка, что и на одиночном резисторе. со значением

(8)

На рисунке 2 показана так называемая эквивалентная схема. Это Следует подчеркнуть, что это эквивалент только в той мере, в какой батарея касается .Другими словами, он представляет собой эквивалентную нагрузку на батарее.

Рисунок 2: Эквивалентная схема: эффективное сопротивление

Уравнение 8 является правилом для последовательно соединенных резисторов. Это обобщается на любое количество резисторов, от одного до одного. Он говорит, что для резисторов, включенных последовательно, просто сложите все сопротивления.

Это важно, потому что в реальном мире инженеры редко используют КВЛ напрямую. Вместо этого они применяют такие вещи, как уравнение 8. Это несколько проще и удобнее.Это уравнение, конечно, является следствием KVL и страдает от всех ограничения как сам KVL, как обсуждается в раздел 1.5.

Это суть анализа цепей: замена сложная схема более простой схемой замещения.

1.5 Ограничения срока действия

Существуют очень серьезные ограничения срока действия заявления Кирхгофа. напряжение «закон», как мы сейчас обсуждаем.

• KVL действителен в низкочастотном пределе, т.е. действителен для постоянного тока схемы.
• Для цепей переменного тока значение KVL является приблизительным. Иногда бывает очень полезное, точное приближение … но иногда оно не работает жалко.
• Иногда говорят, что KVL точен на всех частотах, когда применительно к модели с сосредоточенными параметрами. Однако это касается то же самое, потому что для цепей переменного тока модель с сосредоточенными параметрами приближение к реальной схеме. Недостатки КВЛ — это подмножество недостатков модели с сосредоточенными параметрами. Также схема на рисунке 6.Мне это кажется сосредоточенным цепь при неблагоприятных обстоятельствах. Это не соответствует KVL, и похоже, что нет способа устранить несоответствия.
• Вот хороший способ резюмировать ситуацию: KVL — хороший приближение при условии, что нет значительных изменений во времени магнитные поля, пронизывающие петлю — и не иначе . К сказать то же самое другими словами: не должно быть никаких значительных паразитные взаимные индуктивности, подающие напряжение в цепь.

  Иногда довольно сложно решить, что важно, а что нет.

• Очень часто инженеры предпринимают шаги, чтобы сделать KVL хорошим приближение, даже в тех случаях, когда в противном случае это могло бы быть намного хуже. Например, использование витой пары может сократиться на на несколько порядков величины количество световых точек, которые соединяются в чувствительная часть схемы.

  С другой стороны, в реальном мире это не то, что вы можете принимать как должное. Если вы хотите, чтобы KVL был хорошим приближением, вы необходимо организовать это с помощью подходящей техники.Иногда это даже невозможно, особенно при работе с мощными, высокоточные и / или высокочастотные схемы.

  В ситуациях, когда KVL не применяется, это не конец Мир. Вы должны анализировать вещи более фундаментально. В в частности, если когда-либо возникнет противоречие между «законами» Кирхгофа, а уравнения Максвелла — вместе с Максвеллом.

Мы можем понять истоки «закона» напряжения Кирхгофа — и его ограничения — с точки зрения закона индукции Фарадея, который одно из уравнений Максвелла.Это может быть записано во многих формах: которые наиболее непосредственно служат нашим целям:

(9)

Это произносится как «напряжение равно магнитной точке». LHS — это падение напряжения вокруг замкнутого контура, а RHS — скорость изменения количества магнитного потока, пронизывающего петлю. Более подробно:

ΔV контур = (напряжение контура) φ • = скорость изменения магнитного потока (скорость магнитного потока )

(10)

, чтобы мы могли переформулировать уравнение 9 как:

(11)

где E — электрическое поле, B — магнитное поле, S — некоторый участок поверхности, петля ∂S является граничной кривой эта поверхность, ds — элемент длины дуги вдоль границы, dA — элемент площади на поверхности.Этот фундаментальный закон применим к любой петле, о которой вы можете подумать. Обычно цикл определяется проводами и элементами схемы, но это абсолютно не обязательный. Это также применимо к любой поверхности, о которой вы только можете подумать, при условии, что ∂S — граница S.

Если напряжение является потенциальным, то напряжение контура будет равно нулю, так как требуется по «закону» Кирхгофа. Однако, как обсуждалось в ссылка 1, непотенциальные напряжения часто бывают желательны … и часто присутствуют независимо от того, желательны они или нет.

Процедуры проектирования схем для минимизации эффектов KVL нарушения — и для измерения нарушений, когда они действительно происходят — являются обсуждается в ссылке 2.

2 Действующий «Закон» Кирхгофа

2.1 Основная идея

Текущий «Закон» Кирхгофа, также известный как «Закон» Кирхгофа, гласит что если N токоведущих проводов встречаются в узле, сумма токи должны быть нулевыми. Входящие токи считаются положительными, и исходящие токи считаются отрицательными. Есть очень серьезные ограничения действия этого «закона», но сначала давайте посмотрим что этот закон говорит нам в лучшем случае.

Давайте применим KCL к узлу, представленному черной точкой на рисунке 3.

Рисунок 3: Параллельно подключенные резисторы: схема делителя тока

KCL сообщает нам, что общий ток в узле составляет:

Я 1 — Я 2 — Я 3 = 0

(12)

Мы также можем интерпретировать это с точки зрения входящего и выходящего тока. Входящий ток I ₁ . Суммарный исходящий ток I ₂ + Я ₃ .Исходящий ток передается параллельной комбинацией резисторы, а именно R ₂ параллельно с R ₃ .

(13)

Мы можем объединить уравнение 13 с законом Ома, чтобы найти

I 1 = ΔV b / R 2 + ΔV b / R 3

(14)

2.2 Третий «закон» Кирхгофа

Рассмотрим следующие два момента:

• Предположим, что весь ток проходит по проводникам. Оно делает не текут через пространство волей-неволей.
• Предположим, что всякий раз, когда мы вводим ток в один конец проводник, 100% тока немедленно выливается на другой конец. В середине проводников заряд не накапливается.

Оба эти предположения необходимы для того, чтобы сделать KCL значимый. Их очень часто принимают как должное.Это проблема, потому что оба они имеют серьезно ограниченный срок действия.

Давайте объединим эти два предположения и назовем их предположениями Кирхгофа. Третий «Закон» (K3L). Мы считаем, что KCL требует K3L, поэтому любое нарушение K3L также считается нарушением KCL.

2.3 Делитель тока

Мы можем найти ток в одной ветви цепи следующим образом:

(15)

Сказать то же самое словами: всякий раз, когда есть связка резисторов параллельно, ток в одном данном резисторе равен общему току поскольку обратное сопротивление данного резистора равно полному обратное сопротивление.Это называется правилом делителя тока. это очень полезно.

Обратное сопротивление называется проводимостью и обозначается G. Итак, мы можем переписать уравнение 15 как:

(16)

Вы можете видеть, что это зеркальное отображение закона делителя напряжения, уравнение 7.

2.4 Эквивалентная схема: параллельные резисторы

Исходя из уравнения 13, мы можем применить закон Ома в обратном порядке к обнаружите, что комбинация резисторов на рисунке 3 представляет ту же нагрузку на батарею, что и одиночный резистор со значением

(17)

Мы можем записать это в более симметричной форме как

(18)

Мы также можем определить новый математический оператор такое, что

(19)

Этот оператор ∥ обладает рядом замечательных свойств, включая ассоциативные, коммутативные и дистрибутивные свойства, как обсуждается в ссылке 3.

(20)

На рисунке 4 показана так называемая эквивалентная схема. Это идентично рисунку 2. Следует подчеркнуть. что это эквивалент только в том, что касается батареи . Другими словами, это эквивалентная нагрузка на аккумулятор.

Рисунок 4: Эквивалентная схема: эффективное сопротивление

Это важно, потому что в реальном мире инженеры редко используют KCL напрямую. Вместо этого они применяют такие вещи, как уравнение 17.Это несколько проще и удобнее. Это уравнение, конечно, является следствием KCL и страдает от всех ограничения как сам KCL, как обсуждается в раздел 2.5.

2.5 Ограничения срока действия

Существуют очень серьезные ограничения срока действия заявления Кирхгофа. действующий «закон», как мы сейчас обсуждаем.

• Третий «закон» Кирхгофа обычно нарушается случайными токи в ситуациях так называемого «статического электричества».
• KCL действителен в пределе низких частот, т.е.е. действительно для DC схем, если исключить ситуации, когда третий «закон» Кирхгофа нарушается.
• Для цепей переменного тока KCL является приблизительным. Иногда бывает очень полезное, точное приближение … но иногда оно не работает жалко.
• Дело в том, что люди привыкли смотреть на схемы где применяется KCL, и вопрос в том, почему. Нет фундаментального физическая причина, почему так должно быть. Ответ интересный, потому что это больше связано с социологией, чем с физикой.В причина в том, что людям нравится простой взгляд Кирхгофа в вещах, и дизайнеры обычно и привычно стараются снизить значимость нарушений KCL.

  Например, предположим, что узел A передает сигнал переменного тока высокого напряжения, и Предположим, узел B — это чувствительный, высокоомный, низковольтный схема приемника. Любая заметная паразитная емкостная связь эти два узла были бы невыносимы. Есть много вещей мы можем сделать, чтобы облегчить проблему:

  • Это помогает держать эти два узла далеко друг от друга… хотя есть пределы того, насколько это возможно.
  • Очень помогает наложение заземленного экрана между два узла. Это на самом деле увеличивает количество паразитических емкость, но это снижает важность. Нарушение KCL соединение узла A с землей не важно, потому что ток вовлечено мало по сравнению с другими токами, протекающими через узел A. Между тем паразитная емкость, подключенная к узлу B тоже больше, но это менее важно, потому что вождение напряжение на порядки меньше.

    Внешний проводник коаксиального кабеля является примером типа экранирования, о котором мы говорим. Подумайте об этом:

    • Система кабельного телевидения построена с использованием коаксиального кабеля от одного конца до другого. Другие.
    • Даже на гораздо более низких частотах, используемых раздельными видео, для видеовхода вашего телевизора используется коаксиальный кабель.
    • На еще более низких частотах аудиовходы для вашей музыки система использует коаксиальный кабель.
    • Для входа в осциллограф используется разъем BNC, потому что все предполагают, что вы собираетесь подключить ввод через коаксиальный кабель.
    • И так далее.

    Дело в том, что без экранирования были бы широко распространены валовые нарушения KCL.

  В реальном мире KCL нельзя воспринимать как должное. Если вы хотите KCL чтобы быть хорошим приближением, вы должны организовать это средства подходящей техники. Иногда это даже невозможно, особенно при работе с мощными, высокоточными и / или высокочастотные цепи.

  В ситуациях, когда KCL не применяется, это не конец Мир.Вам просто нужно проанализировать вещи более фундаментально. В частности, если когда-нибудь возникнет конфликт между «Законы» и уравнения Максвелла идут вместе с Максвеллом.

Мы можем понять истоки нынешнего «закона» Кирхгофа — и его ограничения — в части сохранения заряда, что подразумевается уравнения Максвелла.

1. Сумма токов, входящих в узел, сообщает нам скорость, с которой ток накапливается на узле. В реальном мире узел вполне может иметь некоторый конечный размер и некоторую конечную собственную емкость, в этом случае вполне возможно, что некоторая зарядка может накапливаются на узле с нарушением KCL.

   В пределе низких частот мы можем привести следующий аргумент: Мы предполагаем, что размер узла конечен, поэтому собственная емкость узла конечна. Далее мы предполагаем, что напряжение на узле конечно. Объединив эти две идеи, заряд на узле должен быть конечным. ток — это заряд за единицу времени, а шкала времени очень велика, поэтому ток должен быть очень маленьким. Следовательно, KCL действителен в хорошем приближении.

   В цепях переменного тока иногда выходит из строя KCL. Значительные нарушения KCL может возникать даже при 60 Гц, что не является очень высокой частотой.Для наглядный пример этого, см. видео в ссылке 4. Если вы считаете вертолет узлом, несимметричный ток втекает в узел и снова выходит с частотой 60 Гц.

   В меньшем масштабе очень полезное нарушение KCL является основанием для бесконтактный детектор напряжения. Извещатель не подключен к цепь любыми проводниками. Также нет необходимости подключить извещатель к земле; все, что ему нужно, это достаточно большой собственная емкость, как у вышеупомянутого вертолета.Детектор является изолированным узлом. Если поблизости есть провод или другой объект переносит переменное напряжение, переменное электрическое поле даст повышается до некоторого заряда, текущего к узлу детектора и от него, и это можно измерить. См. Ссылку 5.

2. Третий закон Кирхгофа имеет свои собственные проблемы. Тихо общие паразитные взаимные емкости между одной частью схема и другое.

   Действительно, на практике большинство проблем с KCL связано с с паразитными взаимными емкостями.

3 Мутации

Вам рекомендуется пропустить этот раздел, особенно при первом чтении. Основная цель — развеять различные конкретные заблуждения. Если вы не страдаете ни одним из этих заблуждений, это хорошо, и вы не должны тратить зря клетки мозга, думая о них.

В качестве фона обратите внимание, что если вы пойдете вверх лестницы в реальном мире, Δh положительно, если h увеличивается по пути. Та же логика применима к электронике: ΔV положительный, если V увеличивается по пути.

Закон Ома обычно записывают как выражение для напряжения падение , как в уравнении 3. Мы говорим об ИК-падении. Капля соответствует отрицательному ΔV, если идти по пути в направлении текущего I.

Я упоминаю об этом, потому что некоторые люди пишут

☠ ΔV = I R ☠

(21)

, что неверно в -1 раз или в лучшем случае несовместимо с почти универсальные соглашения относительно того, что означает «Δ».Это много лучше записать закон Ома в терминах падения напряжения , как в уравнение 3.

Многие люди, которым следует знать лучше, иногда утверждают, что они получили КВЛ как следствие сохранения энергии. В выводы довольно смешны. Вы знаете, что результат не может быть быть правдой, потому что энергия всегда строго локально сохранена, даже в тех случаях, когда КВЛ не действует.

Многие люди, которым иногда нужно знать лучше утверждают, что «законы> Кирхгофа всегда верны.Вот лучший способ глядя на это. Это предложение дважды или ничего:

Если вы столкнетесь с цепью, которая работает правильно, это вполне вероятно, что «законы» Кирхгофа применимы к этой схеме, к разумное приближение.

Если вы столкнетесь с цепью, которая не работает должным образом, есть большая вероятность, что «законы» Кирхгофа нарушаются.

В частности, при столкновении с чрезмерным гудением, шумом или помехами, вы должны учитывать все возможные неидеальности, которые могут быть вызывая проблему.В первую очередь в списке стоит вероятность того, что KVL нарушением может быть подача некоторого нежелательного напряжения в некоторые ноги схема.

Вот еще один сценарий, который следует рассмотреть:

• Какой-то инженер проектирует схему. Он принимает априори что «законы> Кирхгофа всегда верны.
• Он создает прототип, который не работает должным образом из-за безудержные нарушения «законов» Кирхгофа. Он бормочет несколько проклятия, измеряет прототип, чтобы увидеть, где наиболее серьезные нарушения происходит, а затем соответствующим образом модифицирует схему.
• Новый дизайн работает нормально. Теперь действуют «законы» Кирхгофа. a posteriori до разумного приближения.

Обратите внимание, что вначале «законы» Кирхгофа считаются действующими, и в конце они действительно действительны. Однако нельзя пренебрегать решающий средний этап, на котором «законы» Кирхгофа не действуют. Если инженер понимает, почему, где и сколько «законы» Кирхгофа нарушаются, ему будет намного легче преодолеть средний этап.

KVL и KCL вместе называются Кирхгофскими Схема «законы». В достаточно узком контексте они часто называют просто «законами» Кирхгофа, но это рискованно, потому что Густав Кирхгоф сформулировал целый ряд законов, в том числе по темам: тепловое излучение, спектроскопия, физическая химия и схемотехника.

Либо KVL, либо KCL по отдельности иногда называют просто Кирхгофа. «закон». Значение обычно очевидно из контекста.

Ничего из этого не имеет отношения к Огюсту Керкхоффу, кто заложил некоторые важные законы криптографии.

4 Непотенциальные напряжения в ячеистой цепи

Цель этого раздела — понять напряжения и токи в схема сетки, показанная на рисунке 6. Однако, Прежде чем мы перейдем к этому, давайте сделаем простое упражнение на разминку.

В частности, давайте начнем с рассмотрения простой схемы, показанной на рисунок 5. Имеется квадратная петля из резисторы. Все четыре резистора имеют одинаковое значение, а именно R. приложенное магнитное поле, перпендикулярное плоскости схема.Магнитное поле однородно в пространстве. Подходящий составляющая магнитного поля неуклонно увеличивается. В соответствии согласно закону индукции Фарадея, это индуцирует электрическое поле. В электрическое поле везде параллельно плоскости сетки. Грубо говоря, электрическое поле указывает в указанном направлении. тремя синими стрелками, окружающими символ φ ^• . Этот поле не является градиентом какого-либо потенциала. Общее напряжение около квадратная петля — V ₀ .Падение напряжения на каждом резисторе составляет В ₀ /4. Ток в каждом резисторе I ₀ /4, где «Эталонный ток» — I ₀ : = V ₀ / R. Это представляет собой устойчивый ток, индуцированный ток, протекающий по петле. Мы представляем, что сопротивление невелико, поэтому индуцированный ток огромен.

Рисунок 5: Непотенциальное напряжение в простой цепи

Интегрируем магнитное поле по площади квадрата. Этот дает нам магнитный поток φ.Скорость изменения постоянна, а именно φ ^• . Закон индукции Фарадея говорит нам, что падение напряжения вокруг квадрата V ₀ = φ ^• .

Теперь мы готовы проанализировать сетчатую схему, показанную на рисунке 6. Есть шесть квадратных ячеек, все с одинаковыми область. Каждая ячейка ограничена четырьмя резисторами. Каждый из 17 резисторы имеют одинаковое сопротивление, а именно R. Грубо говоря, электрическое поле в данном случае представляет собой суперпозицию шести копий поле мы видели на рисунке 5, но в некоторых местах взносы добавить или отменить.Обнаружение деталей электрического поле потребует больше работы, чем необходимо, потому что все, что нам действительно нужно, знать ток в проводах и измеренное напряжение вдоль провода . Однако одно мы уже знаем: электрическое поле определяет напряжение вокруг каждого контура в соответствии с определение напряжения. Для каждого маленького квадратного контура напряжение равно В ₀ .

Мы рассматриваем следующее квазистационарное состояние: Магнитное поле равно не установившийся, а производная ∂B / ∂t равна устойчивый.Электрическое поле устойчиво. Любые начальные переходные процессы имеют погас, поэтому все напряжения и токи в цепи стабильны. Поток φ от ячейки к ячейке одинаков, а также φ ^• одинаково от ячейки к ячейке. Напряжение вокруг каждого квадрата ячейка V ₀ = φ ^• .

Рисунок 6: Непотенциальные напряжения в ячеистой цепи

Для схемы с шестью элементами, немного поработать, чтобы найти все напряжения. и токи. С другой стороны, учитывая решение, показанное на рисунке 7, нетрудно убедиться, что решение правильное.На рисунке каждая синяя стрелка представляет I ₀ /7, т.е. одна седьмая от опорного тока. Если умножить это R, вы обнаружите, что каждая синяя стрелка считается одной седьмой индуцированного напряжения в каждой ячейке.

Вы должны проверить, что на границе каждой ячейки количество нетто синих стрелок, указывающих по часовой стрелке, — семь. Это означает, что решение поддерживает закон индукции Фарадея в соответствии с величина φ ^• указана на рисунке 6. Вы также должны убедиться, что чистый ток в каждом узле равен нулю в в соответствии с действующим «законом» Кирхгофа.Вы также должны проверить что все, что мы сказали о соотношении тока / напряжения, в соответствии с законом Ома.

Обратите внимание, что все эти напряжения не являются потенциальными. Они есть прекрасно определяется, если говорить о напряжении вдоль пути, но вы получите чепуху, если попытаетесь говорить о «напряжении» в какой-то точке. Например, рассмотрим резистор, идущий вправо от точки Б. Я могу сказать вам абсолютно, что падение напряжения на этом резистор — 4/7 В ₀ .Я не могу сказать вам «напряжение» на любой конец этого резистора, даже не приблизительно, но я могу сказать Вы рассчитываете ΔV довольно точно.

Вот еще один взгляд на то, почему напряжение должно быть функцией путь, а не функция позиции:

Рассмотрим путь по часовой стрелке от точки A до точки B, проходит по нижней и левой сторонам диаграммы. Eсть падение 21/7, т. е. 3 единицы напряжения на этом пути.

Рассмотреть возможность путь против часовой стрелки из точки А в точку Б, идущий по правая и верхняя часть диаграммы.Прирост 21/7 т.е. 3 единицы напряжения на этом пути.

Очевидно, что в точке B не может быть напряжения, равного одновременно меньше и больше, чем напряжение в точке A.

Обратите внимание, что «закон» напряжения Кирхгофа подразумевает, что напряжение потенциал. KVL не может дать правильный ответ применительно к эта схема. Закон индукции Фарадея дает правильный ответ, но КВЛ нет.

Также обратите внимание, что вы не можете «спасти» KVL, перестроив схему. с использованием разных компонентов.В частности, насколько мне известно, вы не может установить схему токов и напряжений, показанную на рисунке 7, с использованием любой комбинации батарей, резисторы, провода и другие элементы с сосредоточенными параметрами. Это потому что модель с сосредоточенными параметрами гарантирует, что напряжение будет потенциал. Он будет поддерживать KVL, тогда как фактическая схема — нет. Давайте проясним: KVL говорит, что каждый раз, когда вы подключаете аккумулятор и резистор, на резисторе наблюдается некоторое падение напряжения вместе с (примерно) равное усиление напряжения в батарее.Ситуация на рисунке 7 сильно отличается: есть падения напряжения (т.е. падения IR), связанные с каждым из резисторов, но нет батареек!

Мотивация: Есть несколько несмешных способов, которыми как это могло появиться. Во-первых, предположим, что есть большое зависящее от времени магнитное поле, и вы хотите его экранировать, поэтому что он не вызывает ужасных помех для всей электроники по соседству. Вы могли бы смоделировать экран с точки зрения сетка.Это может быть мелкий масштаб (например, плоскость заземления печатную плату) или он мог бы быть намного больше.

Также представьте, что вы фермер. На корпусе много металлической сетки. пол вашего молочного коровника. Есть старые, неуклюжие, но мощные оборудование, излучающее сильное изменяющееся во времени магнитное поле. Ты подозреваю, что это вызывает огромные токи в сетке. У тебя есть предпринял несколько отважных попыток измерить напряжения и токи, но вы продолжаете получать противоречивые результаты… воспроизводимо непоследовательно!

• Если вы считаете, что KVL применим в данной ситуации, вы никогда не поймешь, что происходит.
• Пока вы думаете, что каждое напряжение является потенциалом, вы будете никогда не понять, что происходит.
• Если вы считаете возможным присвоить номер «Напряжение» в данном месте, вы никогда не поймете, что продолжается.

5 Ссылки

Джон Денкер,
«Основные понятия напряжения»
www.av8n.com/physics/voltage-intro.htm

Джон Денкер,
«Основные понятия заземления и экранирования»
www.av8n.com/physics/grounding-shielding.htm

Джон Денкер,
«Как узнать значение чего-либо»
www.av8n.com/physics/understanding-parallel-r.htm

«Проверка высоковольтного кабеля» (видео)
https://www.youtube.com/watch?v=9tzga6qAaBAt=0m52s

«Бесконтактные тестеры напряжения» (видео)
https: // www.youtube.com/watch?v=ZUw79RJMj-g

Законы Кирхгофа о напряжении и токе [Analog Devices Wiki]

Цель:

Целью этой лабораторной работы является проверка закона напряжения Кирхгофа (KVL) и закона тока Кирхгофа (KCL) с использованием сеточного и узлового анализа данной цепи.

Примечания:

Как и во всех лабораториях ALM, мы используем следующую терминологию при описании подключений к разъему M1000 и настройке оборудования.Зеленые заштрихованные прямоугольники обозначают подключения к разъему аналогового ввода-вывода M1000. Контакты аналогового канала ввода / вывода обозначаются как CA и CB. При настройке для принудительного измерения напряжения / измерения тока — В добавляется, как в CA- V , или при настройке для принудительного измерения тока / измерения напряжения добавляется -I, как в CA-I. Когда канал настроен в режиме высокого импеданса только для измерения напряжения, -H добавляется как CA-H.

Следы осциллографа аналогичным образом обозначаются по каналу и напряжению / току.Например, CA- V , CB- V для сигналов напряжения и CA-I, CB-I для сигналов тока.

Фон:

1. Закон Кирхгофа о напряжении гласит, что алгебраическая сумма всех напряжений вокруг любого замкнутого пути (петли или сетки) равна нулю. Если мы определим напряжения на каждом резисторе R ₁ — R ₅ как В ₁ — В ₅ , применив закон напряжения Кирхгофа к первому и второму контурам в цепи, показанной на рисунке 1 дает:

Петля 1: -Vs + В ₁ + В ₂ + В ₅ = 0
Петля 2: — В ₂ + В ₃ + В ₄ = 0

Рисунок 1, Законы Кирхгофа

2.Закон Кирхгофа утверждает, что алгебраическая сумма всех токов в любом узле равна нулю. Если мы определим токи через каждый резистор с R ₁ по R ₅ как с I ₁ по I ₅ , применение закона Кирхгофа к первым четырем узлам в схеме, показанной на рисунке 1, приведет к следующим уравнениям:

Узел a: -Is + I ₁ = 0
Узел b: -I ₁ + I ₂ + I ₃ = 0
Узел c: -I ₃ + I ₄ = 0
Узел d: -I ₂ -I ₄ + I ₅ = 0

Материалы:

Аппаратный модуль ADALM1000
Различные резисторы: 1 кОм (2), 1.2 кОм (2), 2,4 кОм

Процедура:

Шаг 1. Постройте схему, показанную на рисунке 1, используя следующие значения резисторов:

R1 = 1 кОм
R2 = 2,4 кОм
R3 = 1,2 кОм
R4 = 1 кОм
R5 = 1,2 кОм

Шаг 2. Используйте омметр для измерения фактических значений резисторов.

Шаг 3. Подключите фиксированный источник питания (5 В) к узлу a и подключите узел e к земле как Vs.

Шаг 4. Точно измерьте все напряжения и рассчитайте токи в цепи с помощью Volt Meter Tool.

Шаг 5. Запишите измерения в табличной форме, содержащей измеренные значения напряжения и тока, как показано ниже.

Ток / напряжение ветви	В [вольт]	I [ мА ]	R [кОм]
В 1 , I 1
В 2 , I 2
В 3 , I 3
В 4 , I 4
В 5 , I 5
В с , I с

Шаг 6.Проверьте KVL для контуров в цепи, используя уравнения контура 1 и 2.

Шаг 7. Проверьте KCL для узлов в схеме, используя уравнения узлов a, b, c и d.

Вопросы:

1. Рассчитайте идеальные напряжения и токи для каждого элемента в цепи и сравните их с измеренными значениями.

2. Вычислите процентную ошибку в двух измерениях и дайте краткое объяснение ошибки.

Для дальнейшего чтения:

Краткое руководство вольтметра постоянного тока (вольтметр-инструмент-1.2.exe)
Руководство по быстрому запуску омметра постоянного тока (ohm-meter-vdiv-1.2.exe)
Руководство по быстрому запуску измерителя постоянного тока (dc-meter-source-tool-1.3.exe)

Терминология осциллографа

Вернуться к лабораторной работе Содержание

Законы Кирхгофа

Взаимоотношения между U и I

Два закона Кирхгофа рассказывают нам о взаимосвязях между значениями тока и токами в цепях.

Текущий закон Кирхгофа гласит, что: Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.

Два момента могут потребовать дальнейшего пояснения:

1. Узел — это технический термин, обозначающий соединение в цепи, где две или более ветви соединяются вместе. Рис. 2.1. показывает узел с четырьмя соединенными ветвями;
2. фраза «алгебраическая сумма» напоминает нам, что мы должны учитывать текущее направление, а также величину, применяя Текущий закон Кирхгофа.

Этот закон используется в анализе цепи для определения взаимосвязей между токами, протекающими в ветвях цепи.Например, в Рис. 2.1 токи, протекающие в четырех ветвях, подключенных к узлу, были определены как I ₁ , I ₂ , I ₃ , I ₄ , и Закон Кирхгофа позволяет нам запишите уравнение, связывающее эти токи.

Присмотревшись к Рис. 2.1 , мы видим, что два тока (I ₁ , I ₂ ) текут к узлу, а два других тока (I ₃ , I ₄ ). ) текут наружу.«Алгебраическая сумма» должна учитывать эту разницу в относительном направлении.

Чтобы строго применить Закон Кирхгофа, мы должны сначала сделать произвольный выбор положительного направления тока.

Предположим, что токи, текущие в узел (I ₁ , I ₂ ), рассматриваются как положительные вклады в алгебраическую сумму (и, наоборот, токи, текущие из узла, рассматриваются как отрицательные вклады), тогда алгебраическая сумма токов будет записано: + I ₁ + I ₂ — I ₃ — I ₄ , и согласно текущему закону Кирхгофа эта алгебраическая сумма равна нулю:

+ I ₁ + I ₂ — Я ₃ — Я ₄ = 0 (2.1)

Тот же результат может быть получен при противоположном выборе положительного направления тока. Если токи, текущие из узла (I ₃ , I ₄ ), рассматриваются как положительные вклады в алгебраическую сумму, тогда алгебраическая сумма токов будет записана: — I1 — I2 + I3 + I4, и приравнивая эту алгебраическую сумму сумма к нулю:

— I ₁ — I ₂ + I ₃ + I ₄ = 0 (2.2)

, что является тем же соотношением, что и уравнение.2.1 со всеми членами, умноженными на –1.

Следует подчеркнуть, что выбор знака при использовании Текущего закона Кирхгофа является полностью произвольным и, конечно, не влияет на полученный результат. Однако рекомендуется быть последовательным в своем выборе, поскольку это сводит к минимуму вероятность ошибки при записи алгебраической суммы.

Ур. 2.1 и 2.2 можно изменить так, чтобы показать, что:

I ₁ + I ₂ = I ₃ + I ₄ (2.3)

и возвращаясь к Рис. 2.1 , мы видим, что это уравнение показывает, что ток, протекающий в узел, равен текущему току. Эта формулировка естественным образом возникает из физических соображений о токе как о потоке заряда.

Заряд не накапливается в узле, и поэтому любой заряд, поступающий в узел через одну или несколько ветвей, должен уходить из узла через другие ветви. Следовательно, втекающий ток равен току, выходящему из узла.

Рабочий пример 2.1

Рассчитайте ток I, текущий в узел.

Решение

Выбор токов, протекающих в узел, как положительных и применение закона Кирхгофа

: +3 –2 + I = 0, поэтому I = -1 A

Ток, текущий в узел, равен –1A, что является То же, что и выходящий из узла ток + 1A

Рабочий пример 2.2

Рассчитайте ток I, указанный на диаграмме.

Решение

В этой задаче есть два узла, каждый с тремя подключенными ветвями.Начните с определения тока I ’, протекающего в ветви между двумя узлами. Направление I ’было выбрано случайно: оно может иметь положительное или отрицательное значение. Выбирая токи, исходящие из узлов, как положительные и применяя Закон Кирхгофа в каждом узле:

— (- 4) + 2 + I ‘= 0, поэтому I’ = -6 A

и: -I ‘- 6 + I = 0, поэтому I = I ‘+ 6 = 0 A

, но есть ли способ попроще? Да! Мы можем объединить два отдельных узла в один суперузл, показанный красным на нижней диаграмме.Суперузел не может накапливать заряд, поэтому закон Кирхгофа может быть применен к токам в ответвлениях, подключенных к нему.

При таком же выборе направления тока:

— (- 4) + 2 + I — 6 = 0, поэтому I = 0 A

Вторая часть законов Кирхгофа

Второй из законов Кирхгофа, Закон напряжения, гласит что:

Алгебраическая сумма напряжений в замкнутом контуре равна нулю.

Здесь снова есть фраза «алгебраическая сумма», поэтому мы должны признать, что направление напряжений имеет значение при использовании закона Кирхгофа.

На рис. 2.2 показан контур цепи, который является частью более крупной схемы. В петлю входят четыре узла ABCD, между которыми соединены четыре компонента. В этом случае четыре компонента являются сопротивлениями, но закон Кирхгофа по напряжению может применяться независимо от того, какие компоненты подключены в замкнутом контуре. Напряжения на четырех сопротивлениях, составляющих контур цепи, были определены как V ₁ , V ₂ , V ₃ , V ₄ , и закон Кирхгофа позволяет нам записать уравнение, связывающее эти напряжения.Если мы подумаем о перемещении по замкнутому контуру в любом направлении, мы заметим, что четыре напряжения будут встречаться последовательно.

Две стрелки напряжения будут указывать в направлении движения, а две — против движения. Алгебраическая сумма напряжений должна учитывать эту разницу в относительном направлении.

Чтобы правильно применить закон Кирхгофа о напряжении, мы должны сделать произвольный выбор относительно направления движения по замкнутому контуру и вклад, который отдельные напряжения вносят в алгебраическую сумму вокруг замкнутого контура.Предположим, мы движемся по петле в Рис. 2.2 по часовой стрелке (ABCD), и что напряжения, противоположные направлению движения, вносят положительный вклад в алгебраическую сумму. При движении из A в B встречается напряжение V ₁ , и оно находится в направлении, противоположном движению. Следовательно, V ₁ является положительным вкладом в алгебраическую сумму.

То же замечание верно и для V ₂ , которое встречается при переходе от B к C.Однако при перемещении от C к D и обратно к A встречаются напряжения V ₃ и V ₄ , и в обоих случаях напряжения имеют то же направление, что и перемещение, что дает отрицательный вклад в алгебраическую сумму. Выраженная математически, алгебраическая сумма напряжений вокруг замкнутого контура ABCD равна: + V ₁ + V ₂ — V ₃ — V ₄ , а Закон Кирхгофа о напряжении утверждает, что эта сумма равна нулю:

+ V1 + V2 — V3 — V4 = 0 (2.4)

Тот же результат получается при любом выборе направления движения или вклада напряжения в алгебраическую сумму. Остальные три комбинации:

По часовой стрелке вокруг петли (ABCD), с положительной стрелкой:

— V1 — V2 + V3 + V4 = 0 (2,5)

Против часовой стрелки вокруг петли (ADCB), против стрелки положительной :

— V1 — V2 + V3 + V4 = 0 (2.6)

Против часовой стрелки вокруг контура (ADCB), с положительной стрелкой:

+ V1 + V2 — V3 — V4 = 0 (2.7)

Четыре уравнения 2.4 — 2.7 дают точно такое же соотношение между четырьмя напряжениями: все четыре могут быть перегруппированы, чтобы показать, что:

V1 + V2 = V3 + V4 (2.8)

Как и в случае с законом тока , рекомендуется быть последовательным в выборе направления и полярности при применении закона Кирхгофа, чтобы уменьшить вероятность ошибки при записи алгебраической суммы.

Рабочий пример 2.3

Рассчитайте напряжение V

Решение

При произвольном выборе хода по часовой стрелке вокруг контура и подсчете со стрелкой напряжения в качестве положительного вклада в алгебраическую сумму Закон Кирхгофа для напряжения:

-6 — (-10) + V +7 = 0,

, поэтому V = -11 V

Рабочий пример 2.4

Вычислить напряжение V

Решение

Этот пример предназначен для демонстрации того, что «замкнутый контур» не обязательно должен определяться непрерывным соединением компонентов: напряжение V — это напряжение между двумя узлами, которое между ними ничего не связано, но закон Кирхгофа по-прежнему действует.

При обходе контура против часовой стрелки и счету против стрелки напряжения в качестве положительного вклада в алгебраическую сумму:

+ V + 2-10 — (-8) = 0, поэтому V = 0 В

И, наконец, краткое примечание об обозначениях.Вы найдете много книг, в которых упоминается напряжение между двумя точками в цепи, такими как A и B, с использованием символа VAB.

Естественно, вы задаетесь вопросом, как это соотносится с обозначением «стрелка», используемым здесь. Как показано на рис. 2.3, принято, что напряжение VAB означает «напряжение в точке A относительно точки B», поэтому стрелка указывает на точку A от точки B.

21.3 Правила Кирхгофа — College Physics

Расчет тока: с использованием правил Кирхгофа

Найдите токи, протекающие в цепи, показанной на Рисунке 21.25.

Рисунок 21.25 Эта схема аналогична схеме на рисунке 21.21, но указаны сопротивления и ЭДС. (Каждая ЭДС обозначена буквой E.) Токи в каждой ветви обозначены и предполагается, что они движутся в показанных направлениях. В этом примере для нахождения токов используются правила Кирхгофа.

Стратегия

Эта схема достаточно сложна, поэтому токи нельзя найти с помощью закона Ома и последовательно-параллельных методов — необходимо использовать правила Кирхгофа.Токи обозначены как I1I1 размер 12 {I rSub {размер 8 {1}}} {}, I2I2 размер 12 {I rSub {размер 8 {2}}} {} и I3I3 размер 12 {I rSub {размер 8 {3 }}} {} на рисунке, и были сделаны предположения об их направлениях. Места на схеме обозначены буквами от a до h. В решении мы будем применять правила соединения и петли, ища три независимых уравнения, которые позволят нам решить три неизвестных тока.

Решение

Начнем с применения правила Кирхгофа первого или перекрестка в точке а.Это дает

I1 = I2 + I3, I1 = I2 + I3, размер 12 {I rSub {размер 8 {1}} = I rSub {размер 8 {2}} + I rSub {размер 8 {3}}} {}

21,54

, так как I1I1 размером 12 {I rSub {размер 8 {1}}} {} течет в соединение, в то время как I2I2 размером 12 {I rSub {размер 8 {2}}} {} и I3I3 размером 12 {I rSub {размер 8 {3}}} {} вытекать. Применение правила соединения в e дает точно такое же уравнение, так что новая информация не получается. Это одно уравнение с тремя неизвестными — необходимы три независимых уравнения, поэтому необходимо применять правило цикла.

Теперь рассмотрим цикл abcdea. Двигаясь от a к b, мы пересекаем R2R2 размера 12 {R rSub {size 8 {2}}} {} в том же (предполагаемом) направлении, что и текущий размер I2I2 12 {I rSub {size 8 {2}}} {} , поэтому изменение потенциала равно −I2R2-I2R2 размер 12 {- I rSub {размер 8 {2}} R rSub {размер 8 {2}}} {}. Затем, переходя от b к c, мы переходим от –– к +, так что изменение потенциала составляет + emf1 + emf1 размер 12 {+ «emf» rSub {size 8 {1}}} {}. Пересечение внутреннего сопротивления r1r1 размером 12 {r rSub {размер 8 {1}}} {} от c до d дает −I2r1-I2r1 размер 12 {- I rSub {размер 8 {2}} r rSub {размер 8 {1} }} {}.Завершение цикла путем перехода от d к a снова проходит через резистор в том же направлении, что и его ток, давая изменение потенциала −I1R1 − I1R1 размер 12 {- I rSub {размер 8 {1}} R rSub {размер 8 { 1}}} {}.

Правило цикла гласит, что сумма изменений потенциала равна нулю. Таким образом,

−I2R2 + emf1 − I2r1 − I1R1 = −I2 (R2 + r1) + emf1 − I1R1 = 0. − I2R2 + emf1 − I2r1 − I1R1 = −I2 (R2 + r1) + emf1 − I1R1 = 0. размер 12 {- I rSub {размер 8 {2}} R rSub {размер 8 {2}} + «emf» rSub {размер 8 {1}} — I rSub {размер 8 {2}} r rSub {размер 8 { 1}} — I rSub {размер 8 {1}} R rSub {размер 8 {1}} = — I rSub {размер 8 {2}} \ (R rSub {размер 8 {2}} + r rSub {размер 8 {1}} \) + «emf» rSub {size 8 {1}} — I rSub {size 8 {1}} R rSub {size 8 {1}} = 0} {}

21.55

Подставляя значения из принципиальной схемы для сопротивлений и ЭДС и отменяя единицу измерения ампер, получаем

−3I2 + 18−6I1 = 0. − 3I2 + 18−6I1 = 0. размер 12 {- 3I rSub {размер 8 {2}} + «18» — 6I rSub {размер 8 {1}} = 0} {}

21,56

Теперь применим правило цикла к aefgha (мы могли бы выбрать abcdefgha в качестве ну) аналогично дает

+ I1R1 + I3R3 + I3r2 − emf2 = + I1R1 + I3R3 + r2 − emf2 = 0. + I1R1 + I3R3 + I3r2 − emf2 = + I1R1 + I3R3 + r2 − emf2 = 0. размер 12 {+ I rSub {размер 8 {1}} R rSub {размер 8 {1}} + I rSub {размер 8 {3}} R rSub {размер 8 {3}} + I rSub {размер 8 {3} } r rSub {размер 8 {2}} — «emf» rSub {размер 8 {2}} «= +» I rSub {размер 8 {1}} R rSub {размер 8 {1}} + I rSub {размер 8 {3}} слева (R rSub {размер 8 {3}} + r rSub {размер 8 {2}} справа) — «emf» rSub {size 8 {2}} = 0} {}

21.57

Обратите внимание, что знаки меняются местами по сравнению с другим циклом, потому что элементы перемещаются в противоположном направлении. С введенными значениями это становится

+ 6I1 + 2I3−45 = 0. + 6I1 + 2I3−45 = 0. размер 12 {+ 6I rSub {размер 8 {1}} + 2I rSub {размер 8 {3}} — «45» = 0} {}

21,58

Этих трех уравнений достаточно для решения трех неизвестных токов. Сначала решите второе уравнение для I2I2 размером 12 {I rSub {size 8 {2}}} {}:

I2 = 6−2I1.I2 = 6−2I1. размер 12 {I rSub {размер 8 {2}} = 6 — 2I rSub {размер 8 {1}}} {}

21.59

Теперь решите третье уравнение для I3I3 размера 12 {I rSub {size 8 {3}}} {}:

I3 = 22,5−3I1.I3 = 22,5−3I1. размер 12 {I rSub {размер 8 {3}} = «22» «.» 5 — 3I rSub {size 8 {1}}} {}

21.60

Подстановка этих двух новых уравнений в первое позволяет нам найти значение для I1I1 размера 12 {I rSub {size 8 {1}}} {} :

I1 = I2 + I3 = (6−2I1) + (22,5−3I1) = 28,5−5I1.I1 = I2 + I3 = (6−2I1) + (22,5−3I1) = 28,5−5I1. размер 12 {I rSub {размер 8 {1}} = I rSub {размер 8 {2}} + I rSub {размер 8 {3}} = \ (6 — 2I rSub {размер 8 {1}} \) + \ («22» ».»5 — 3I rSub {size 8 {1}} \) =» 28 «». «5 — 5I rSub {size 8 {1}}} {}

21,61

Объединение терминов дает

6I1 = 28,5 и 6I1 = 28,5, а размер 12 {6I rSub {size 8 {1}} = «28» «.» 5} {}

21,62

I1 = 4,75 A.I1 = 4,75 A. размер 12 {I rSub {size 8 {1}} = 4 «.» «75» «A»} {}

21,63

Подставляя это значение для I1I1 размера 12 {I rSub {size 8 {1}}} {} обратно в четвертое уравнение, получаем

I2 = 6−2I1 = 6−9,50I2 = 6−2I1 = 6−9,50 размер 12 {I rSub {size 8 {2}} = 6 — 2I rSub {size 8 {1}} = 6–9 дюймов.»» 50 «} {}

21,64

I2 = −3,50 A.I2 = −3,50 A. размер 12 {I rSub {size 8 {2}} = — 3″. «» 50 «» A «} {}

21.65

Знак минус означает, что I2I2 размером 12 {I rSub {size 8 {2}}} {} течет в направлении, противоположном предполагаемому на рисунке 21.25.

Наконец, подстановка значения для I1I1 размера 12 {I rSub {size 8 {1}}} {} в пятое уравнение дает

I3 = 22,5−3I1 = 22,5−14,25 I3 = 22,5−3I1 = 22,5−14,25 размер 12 {I rSub {size 8 {3}} = «22» «.» 5 — 3I rSub {size 8 {1}} = «22» «.»5 -» 14 «». «» 25 «} {}

21,66

I3 = 8,25 A.I3 = 8,25 A. размер 12 {I rSub {size 8 {3}} = 8″. «» 25 «» A «} {}

21,67

Обсуждение

Для проверки отметим, что действительно I1 = I2 + I3I1 = I2 + I3 размер 12 {I rSub {размер 8 {1}} = I rSub {размер 8 {2}} + I rSub {размер 8 {3} }} {}. Результаты также можно было проверить, введя все значения в уравнение для цикла abcdefgha.

Закон Кирхгофа о цепях — Electronics-Lab.com

Введение

В этом руководстве мы представляем один из самых фундаментальных и важных наборов законов для электрических цепей.Эти законы получили название и были установлены немецким врачом Густавом Кирхгофом в 1845 году.

Как и многие другие физические законы, законы схем Кирхгофа (KCL) относительно легко понять и вытекают из наблюдения закона сохранения энергии , который, вероятно, является одним из старейших и наиболее фундаментальных принципов физики.

Тем не менее, KCL могут быть простыми и доступными для понимания, они остаются основным инструментом для анализа схем и до сих пор широко используются.

KCL состоит из двух разных законов относительно физических величин, которые определяют энергию в электрической цепи: ток, и напряжение. Далее мы отдельно представляем в двух разделах, текущие законы Кирхгофа и законы напряжения .

Перед этими разделами стоит представить в первом разделе структуру, в которой используются законы KCL, и многие определения, связанные с этим принципом.

В третьем разделе показан пример того, как применить KCL к реальной схеме и решить проблему с неизвестными параметрами.

Наконец, в последнем разделе кратко представлены ограничения KCL для некоторых частных случаев.

Структура и определения

Основа для применения законов Кирхгофа — это электрических цепей , которые состоят из источника питания или генератора с обоими полюсами, соединенными с промежуточным звеном компонентов в конфигурации с замкнутым контуром . Электрические цепи нарисованы в соответствии с моделью с сосредоточенными элементами , которая предполагает, что компоненты являются идеальными, и соответствующее представление показано на Рис. 1 ниже:

Рис.1: Модель электрической цепи с сосредоточенными элементами

Мы можем дать некоторые конкретные детали относительно топологии схем.Прямые линии представляют собой идеальные соединения / провода между различными элементами схем, что означает, что они не проявляют резистивного или реактивного поведения, следовательно, отсутствуют явления потери мощности или фазового сдвига.

Источник обеспечивает схему энергией, которая состоит из сигналов напряжения и тока (постоянного или переменного тока). Компоненты пассивные , они состоят из резистора, конденсатора и катушки индуктивности. Они могут быть подключены параллельно, как в Рисунок 1 , или последовательно.Активные компоненты, такие как усилители, не рассматриваются в этом руководстве, поскольку с ними связан внешний источник питания. Группа компонентов, соединенных проводами на обоих выводах, называется ответвлением .

Два важных топологических определения важны для того, чтобы впоследствии полностью понять законы Кирхгофа: узлов и петли . Узлы представляют собой стыки между ветвями, и они выделены на рис. 1 синими кружками.Петли выделены красными круговыми стрелками на предыдущем рисунке и представляют собой замкнутый путь ветвей.

Действующий закон Кирхгофа

Текущий закон также известен как узловой или переходный закон и утверждает, что алгебраическая сумма токов, встречающихся в узле, равна нулю . Простой пример можно проиллюстрировать узлом, соединяющим три ветви:

рис. 2: Узловое соединение трех ветвей

Таким образом, закон гласит, что сумма токов, входящих в узел, равна току (токам) на выходе из соединения.В нашем примере это предложение математически переводится в I ₁ + I ₂ = I ₃ или I ₁ + I ₂ -I ₃ = 0 , текущий I ₃ отрицательный, потому что он выходит из узла.

В общем случае узловое соединение N ветвей, токи которых обозначены как I ₁ , I ₂ ,…, I _N , удовлетворяет следующему Уравнению 1 :

уравнение 1: Текущий закон Кирхгофа

Знаковая функция sgn равна +1 , если текущий I _k входит в узел, или -1 , если он существует.

Узловой закон прямо записан из наблюдения, что заряд в замкнутой системе инвариантен. Это предположение также известно как принцип сохранения заряда .

В физике принцип — это наблюдение, которое ни один опыт не подтвердил, но не продемонстрировал; это эквивалент постулатов в математике.

Закон Кирхгофа по напряжению

Закон напряжения также известен как правило петли , он очень похож на узловое правило, но применяется к петлям, а не к узлам. Этот второй закон гласит, что алгебраическая сумма напряжений в контуре цепи равна нулю. Простой пример можно проиллюстрировать с источником постоянного тока, питающим последовательный RC-фильтр:

рис. 3: Петля с тремя различными напряжениями

Знак напряжений определяется направлением стрелок, обычно источник считается положительным, так что стрелки по часовой стрелке являются положительными, а против часовой стрелки — отрицательными. Таким образом, закон Кирхгофа утверждает, что В _S = V _R + V _C или В _S -V _R -V _C = 0 .

Для контура с генерацией N и падением напряжений V ₁ , V ₂ ,…, V _N , Уравнение 2 выполняется:

уравнение 2: Закон Кирхгофа для напряжения

Знаковая функция sgn равна +1 , когда генерируется напряжение (источник в нашем примере) или -1 , когда наблюдается падение (с пассивными компонентами в Рисунок 3 ).

Заявка KCL

В этом разделе мы показываем процесс решения типичных проблем, которые можно решить с помощью KCL.Рассмотрим три источника S ₁ , S ₂ и S ₃ , подключенные к резисторам R ₁ , R ₂ и R ₃ в конфигурации, показанной на Рисунок 4 :

рис 4: Пример конфигурации схемы

Источники постоянного тока идеальны, что означает отсутствие внутреннего сопротивления. Возьмем S ₁ = 4 В, S ₂ = 3 В, S ₃ = 10 В и R ₁ = 3 Ом, R ₂ = 2 Ом, R ₃ = 1 Ом. .

Из действующего закона Кирхгофа мы можем записать следующие равенства для узлов 1 и 2:

• Узел 1: I ₁ = I ₂ + I ₃
• Узел 2: I ₂ + I ₃ = I ₁ , что аналогично уравнению узла 1

Из закона напряжения Кирхгофа запишем равенства для контуров 1 и 2:

• Петля 1: S ₁ = S ₂ + R ₂ × I ₂ + R ₁ × I ₁
• Петля 2: S ₂ + R ₂ × I ₂ = S ₃ + R ₃ × I ₃

Мы можем по-разному записать эти уравнения, чтобы получить следующую систему из 3 уравнений с 3 неизвестными параметрами: I ₁ , I ₂ и I ₃ :

уравнение 3: Линейная система KCL уравнения

Эту систему можно решить с помощью метода исключения, который состоит из замены I ₁ на I ₂ + I ₃ во второй строке (L2) и исключения члена I ₃ путем сложения R ₃ × L2 + R ₁ × L3.

Мы находим напрямую I ₂ = 4,2 A , затем мы можем найти I ₃ , заменяя I ₂ в L3, что дает I ₃ = 1,4 A и, наконец, мы получаем I ₁ = I ₂ + I ₃ = 5,6 A .

Пределы KCL

В первом разделе мы рассмотрели структуру, в которой применяется KCL, но есть и другие, более тонкие условия, которые схема должна соблюдать. В этом разделе мы кратко выделим эти дополнительные условия для действия KCL.

Первое условие известно как квазистатическое приближение и состоит в том, что время распространения сигнала должно быть незначительным по сравнению с периодом сигнала, это дает условие на размеры схемы.

Например, рассмотрим сигнал переменного тока 200 кГц (T = 5 мкс), если приемник расположен в цепи на D = 10 см , время распространения будет Δt = D / c = 0,33 нс с c — скорость света. В этом случае Δt << T, квазистатическое приближение действительно и условие применения KCL соблюдается.

Однако, если приемник расположен вместо этого на D = 1 км , время распространения становится Δt = 3,3 мкс и неравенство Δt << T не соблюдается, поэтому приближение недействительно и KCL не может применяться к цепи. .

В квазистатическом приближении считается, что любое изменение источника немедленно распространяется в любой точке цепи, что позволяет избежать запаздывающих эффектов, которые могут сделать недействительным KCL.

Это утверждение может быть продемонстрировано с помощью уравнения Максвелла-Ампера , в котором вариативный член может быть исключен, когда квазистатическое приближение действительно, текущий закон Кирхгофа может быть продемонстрирован с помощью теоремы Грина-Остроградского .

Еще одно общее условие, придающее силу KCL, состоит в том, чтобы сказать, что изменениями магнитного потока в контурах цепи должны быть пренебрежимо малы. Согласно закону индукции, изменения магнитного потока создают в цепи индуцированные токи и, следовательно, индуцированные напряжения.

Изменение магнитного потока делает недействительным правило петли, вводя новый термин напряжения, который объясняется не компонентами или топологией схемы, а внешним источником.

Заключение

KCL — это фундаментальные законы электроники, которые могут быть применены к электрическим цепям, состоящим из петель и узлов . Эти топологические определения наряду с другими представлены в первом разделе статьи, в котором описывается структура, в которой применяется KCL.

Законы Кирхгофа состоят из закона тока и напряжения, который отражает принцип сохранения энергии в цепи.

Текущий закон учитывает сохранение заряда. утверждает, что алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.Закон напряжения гласит, что алгебраическая сумма напряжений в контуре равна нулю.

No related posts.