Второй закон кирхгофа с источником тока: Расчет электрических цепей с применением законов Кирхгофа и Ома

Содержание

Расчет электрических цепей с применением законов Кирхгофа и Ома


Законы Кирхгофа наиболее общие. Они являются отдельным случаем универсальных уравнений электрического поля относительно произвольных электрических цепей с сосредоточенными параметрами. Закон Ома используется для расчета только линейных цепей.
Алгоритм расчета:
1. Начертить по принципиальной схеме схему замещения; упростить схему, преобразовав последовательно и параллельно соединенные резисторы в эквивалентные, пронумеровать ЭДС соответствующих ветвей, узлы; произвольно выбрать и обозначить положительные направления токов в ветвях.
2. Записать n – 1 уравнений по первому и m – (n – 1) уравнений по второму закону Кирхгофа, где n – количество узлов, m – количество ветвей в цепи. Если бы мы записывали n уравнений по первому закону Кирхгофа, то одно из них – это линейная комбинация оставшихся, что привело бы к линейной зависимости уравнений.
Источник тока J входит только в уравнение первого закона Кирхгофа (баланс тока в узлах) и переносится как известное в правую часть уравнения.
Для схемы (рис. 1) n = 3, m = 4.
Смотрите еще:
 Пример решения задачи по правилам Кирхгофа № 1
 Пример решения задачи по правилам Кирхгофа № 2
 Пример решения задачи по правилам Кирхгофа № 3

Рис. 1.
Ветвь с идеальным источником тока не учитывается, поскольку ее сопротивление бесконечно велико.
Уравнение по первому закону Кирхгофа при n – 1 = 2 для узла 1: – I1 – I3 + I4 + J = 0; для узла 2: I1 + I2 – I4 = 0.
Уравнение по второму закону Кирхгофа при m – (n – 1) = 4 – 2 = 2 для контура 1 (направление обхода указано пунктиром):
I1R1 + I2R2 = E1; для контура 2 (направление обхода то же самое, но можно было взять и противоположное): I2R2 – I3R3 – I4R4 = – E2.
3. Решить систему уравнений относительно тока I:
Если среди компонент вектора I есть отрицательные, то это означает, что их направление противоположно положительному направлению, приведенному в схеме (рис. 1).
4. По закону Ома определить напряжения на элементах.
Сложность использования этого метода связана с чрезмерно большой размерностью систем уравнений.

 

Электротехника: Второй закон Кирхгофа.

  Второй закон (правило) Кирхгофа — алгебраическая сумма напряжений на элементах контура электрической цепи равна нулю.
Контур электрической цепи — замкнутый проводящий ток путь образованный элементами электрической цепи.
Рассмотрим схему на рисунке 1:

Рисунок 1 — Схема с одним контуром

В этой схеме присутствуют: источник ЭДС и резисторы R1, R2 и R3; эти элементы образуют замкнутый путь проводящий ток т.е. контур. Напряжение на источнике ЭДС равно E и направлено так как показано на рисунке 1 стрелочкой справа от источника. Стрелка на условном обозначении источника направлена в сторону противоположную направлению напряжения на источнике ЭДС (иногда это запутывает при расчёте схем но так принято обозначать источник ЭДС). Направления падений напряжений на резисторах указаны стрелками (рис. 1). Для составления уравнения, по второму закону Кирхгофа, необходимо выбрать направление обхода контура (по часовой стрелке или против). В схеме на рисунке 1 показано направление по часовой стрелке. Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:

Напряжения резисторов вошли в левую часть уравнения со знаком плюс т.к. направление обхода контура совпадает с направлениями напряжений на резисторах. Напряжение источника ЭДС E вошло в правую часть со знаком плюс т.к. направление обхода контура не совпадает с направлением напряжения источника. Можно также записать напряжение источника в левой части уравнения со знаком минус (что, в принципе, тоже самое):

Уравнение (2) больше подходит для определения второго закона Кирхгофа приведенного выше.

Напряжения совпадающие по направлению с обходом контура записаны со знаком плюс а напряжение источника не совпадающее с обходом контура — со знаком минус и вся эта алгебраическая сумма равна нулю. Теперь, из выражения (2), зная три каких либо напряжения можно найти четвёртое. Обычно расчёт цепи сводится к нахождению токов во всех ветвях или потенциалов всех узлов т.к. зная эти величины (токи ветвей или потенциалы узлов), сопротивления всех элементов и напряжения источников ЭДС (и токи всех источников тока) можно найти напряжение на любом элементе и ток любого элемента. В схеме на рисунке 1 для определения напряжений U1, U2 и U3 достаточно знать ток I т.к. он одинаков для всех элементов цепи (R1, R2, R3, E). Умножением тока I на сопротивление R1 находится напряжение U1, умножением тока I на сопротивление R2 находится напряжение U2, умножением тока I на сопротивление R3 находится напряжение U3. Учитывая это можно привести уравнение (1) к виду:

Из уравнения (3) можно найти ток I. Т.к. контур один то и ток в уравнении один но если схема содержит больше одно контура то и токов будет больше. Вынеся ток I за скобки и поделив обе части уравнения на сумму сопротивлений R1, R2 и R3 получаем уравнение для нахождения тока I, но этот ток можно найти и другим способом например заменой последовательного соединения резисторов R1, R2 и R3 одним резистором R123 и делением напряжения E на сопротивление резистора R123.

Сопротивление резистора R123 равно сумме сопротивлений резисторов R1, R2 и R3. Ток находится из уравнения:

     Если в контуре содержится больше одного источника ЭДС то уравнение, по второму закону (правилу) Кирхгофа, составляется аналогично.

Рисунок 2 — Схема с двумя источниками ЭДС

Запишем уравнение, по второму закону Кирхгофа, для контура в схеме на рисунке 2:

Напряжение E2 источника E2 записано в правой части уравнения со знаком минус т.к. оно совпадает по направлению с обходом контура. Заменяя напряжения на резисторах произведениями тока I на сопротивления резисторов получим уравнение:

Из уравнения (6) может быть найден ток I.

Если схема имеет больше одного контура то Закон (правило) Кирхгофа все равно выполняется для всех контуров. Уравнения по второму закону Кирхгофа, в таком случае, составляются аналогично тому как в примерах выше. Отличие будет только в том что необязательно для всех элементов будет один и тот же ток. В случае если схема имеет больше одного контура можно считать что через каждый элемент течет свой ток. Напряжение на элементе, в таком случае, находится умножением сопротивления этого элемента (если этот элемент например резистор) на ток данного элемента.

Рисунок 3 — Часть схемы имеющей больше одного контура

Рисунок 4 — Часть схемы имеющей больше одного контура и ветвь из двух элементов

Рисунок 4 — Часть схемы имеющей больше одного контура, ветвь из двух элементов и элементы напряжения на на которых имеют направления не совпадающие с выбранным направлением обхода контура

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа не стоит слишком много времени уделять выбору направлений обходов контуров и направлений токов (они (направления обходов и токов) выбираются произвольно) так как реальные направления токов определяются при решении этих уравнений.

Пример:

Направление напряжения на элементе R1 такое же как и направление тока этого элемента по тому что принято считать что ток течёт от большего потенциала к меньшему а напряжение направлено также (от большего потенциала к меньшему).

МЕТОД ЗАКОНОВ КИРХГОФА

Пусть дана сложная цепь (рис.1.16).

Данная цепь содержит два источника ЭДС Е2 и Е3 и один источник тока J2, находящиеся в разных ветвях, т.е. относится к сложным цепям.

По первому закону Кирхгофа составляют n–1 уравнений, где n – число узлов схемы. Последнее n-ное уравнение не будет содержать новой связи между неизвестными, т.е. будет линейно зависимым.

По второму закону Кирхгофа составляют y yj n + 1 число уравнений, где y – число ветвей в схеме; yj – число ветвей с источниками тока, ток в которых изначально известен.

Независимость уравнений, или, как говорят,

независимость контуров, будет обеспечена, если эти контуры выбирать так, чтобы каждый последующий отличался от предыдущих, по крайней мере, одной новой ветвью.

Для рассматриваемой схемы (см. рис.1.16)

n = 5, у = 8, yj = 1.

 
 

 

 

Следовательно,запишем четыре (5 – 1 = 4) уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов a, d, c и m и три (8 -1 -5 +1 = 3) уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров I, II, III:

Решив полученную систему, найдём значения токов в ветвях.

Недостатком рассмотренного метода является большое число уравнений, а следовательно, громоздкость вычислений. Достоинством метода является то, что в результате расчёта получим значения действительных токов в ветвях.

1.6.2. МЕТОД КОНТУРНЫХ ТОКОВ

Метод контурных токов позволяет уменьшить число уравнений системы и обеспечивает некоторый автоматизм в записи системы уравнений, что облегчает расчёт.

В этом методе считаем, что в каждом независимом контуре k протекает свой контурный ток Ikk. При этом действительные токи в ветвях, являющихся общими для двух и более контуров, равны алгебраической сумме соответствующих контурных токов. При введении в рассмотрение контурных токов отпадает необходимость в записи уравнений по первому закону Кирхгофа, и порядок системы равен числу независимых контуров.

Если в схеме имеется ветвь с источником тока, то независимые контуры выбираются так, чтобы она вошла только в один из них. Контурный ток такого контура считается известным и равным току источника тока, а уравнение для этого контура не составляется.

В рассматриваемой сложной цепи (рис.1.17) можно выделить четыре независимых контура.

Для четвертого контура, содержащего источник тока J2, контурное уравнение не составляется, так как ток в этом контуре I44 известен и равен току источника J2, а все слагаемые с этим током, входящие в систему, считаются известными и при расчёте переносятся в правую часть системы.

При записи системы уравнений по методу контурных токов в общем виде учитываем, что всего контурных токов четыре (I11, I22, I33, I44), но один из них известен (I44 = J2), следовательно, уравнений в системе будет три – по числу неизвестных.

 
 

 

 

По второму закону Кирхгофа

Коэффициенты R11, R22, R33, R44 имеют размерность сопротивлений, называются собственными сопротивлениями контуров и равны сумме сопротивлений, входящих в данный контур:

R11=R2+R4+R5; R22=R1+R3+R4; R33=R3+R5+R6.

Коэффициенты R12, R21, R13, R31, R23, R32, R14, R24, R34 имеют размерность сопротивлений, называются взаимными сопротивлениями контуров и равны сопротивлению смежной (общей) ветви между соответствующими контурами, взятому со знаком «+», если контурные токи обтекают эту ветвь в одном направлении, и со знаком «–», если контурные токи обтекают эту ветвь в противоположных направлениях:

R12= R21=R4; R13=R31=R5; R23=R32=R3; R14=R2; R24=0; R34=0.

Правые части уравнений системы Е11, Е22, Е33 называются контурными ЭДС и равны алгебраической сумме ЭДС, входящих в соответствующие контуры:

Е11 = Е2; Е22 = —Е3; Е33 = Е3.

Слагаемые R14I44 = R14J2, R24I44 = R24J2, R34I44 = R34J2 в полученной системе известны. Перенеся их в правые части уравнений, получим

Решив данную систему, найдём значения контурных токов.

Действительные токи в ветвях находятся как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих по данным ветвям.

В рассматриваемом примере окончательно имеем

I1 = —I22; I2 = I11; I3 = —I22+I33; I4 = I11+I22;

I5 = I11I33; I6 = —I33; I7 = I11I44 = I11J2.

1.6.3. МЕТОД УЗЛОВЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Метод узловых напряжений (потенциалов) применяется в тех случаях, когда число узлов меньше числа независимых контуров или когда требуется определить потенциалы узлов цепи.

В этом методе за неизвестные принимаются потенциалы узлов.

Так как один из n узлов схемы мы можем мысленно заземлить (принять его потенциал равным нулю, т.е. известным), то для определения потенциалов оставшихся узлов методом узловых напряжений требуется составить n–1 уравнений.

После определения потенциалов всех узлов цепи токи в ветвях могут быть найдены по закону Ома.

Перед началом расчета рекомендуется ввести цифровое обозначение узлов схемы, а также преобразовать идеальный источник тока с параллельно присоединенным сопротивлением в эквивалентный идеальный источник ЭДС с последовательно присоединенным сопротивлением (при отсутствии присоединенных указанным образом сопротивлений преобразование идеального источника тока в идеальный источник ЭДС и наоборот невозможно).

Рассмотрим цепь, представленную на рис.1.16.

Заменим источник тока J2 на эквивалентный источник ЭДС (рис.1.18).

 

После этого преобразования схема приобретает следующий вид (рис.1.19).

 

 

В полученной схеме (см. рис.1.19) .

Принимаем потенциал узла 4 известным и равным нулю: j 4 = 0.

Тогда система уравнений по методу узловых напряжений для определения трех неизвестных потенциалов в общем виде [1,2,3] имеет вид

 

Коэффициенты G11, G22, G33имеют размерность проводимости и равны сумме проводимостей ветвей, подходящих к данному узлу:

 

 

Коэффициенты G12, G21, G13, G31, G23, G32имеют размерность проводимости и равны сумме проводимостей ветвей, соединяющих соответствующие узлы схемы, взятой со знаком «–»:

Правые части уравнений системы J11, J22, J33 называются узловыми токами. Узловой ток – это расчетная величина, равная алгебраической сумме произведений ЭДС ветвей, подходящих к данному узлу, на проводимости этих ветвей. Если ЭДС направлена к узлу, то произведение берётся со знаком «+», а если от узла – то со знаком «–».

Если к узлу подходит ветвь с источником тока, то его ток войдет в узловой ток со знаком «+», если он направлен к узлу, или со знаком «–», если от узла.

В рассматриваемой схеме (см. рис.1.19)

 

В результате расчёта системы получим значения потенциалов всех узлов ( ) и по ним найдём значения токов в ветвях по закону Ома:

Ток I7 в исходной схеме с источником тока (см. рис.1 .16) получим по первому закону Кирхгофа:

I7 = I2J .

 

1.6.4. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ

Метод наложения основан на принципе наложения (суперпозиции): ток в любой ветви сложной цепи при действии всех источников равен алгебраической сумме частичных токов, вызываемых в этой ветви каждым из источников в отдельности.

Таким образом, исходная сложная электрическая цепь может быть разбита на ряд простых, получаемых путем последовательного исключения из схемы всех источников кроме одного. При исключении источников они удаляются из схемы, а на их месте остаются только их внутренние сопротивления. Соответственно, на месте идеального источника ЭДС остается закороченный участок, а на месте идеального источника тока – разрыв.

В полученных простых цепях рассчитываются частичные токи во всех ветвях от действия каждого источника в отдельности, а действительные токи ветвей исходной сложной цепи находятся как алгебраическая сумма соответствующих частичных токов.

При применении метода наложения к цепи (см. рис.1.16) последовательность действий выглядит следующим образом:

исключаем из исходной схемы источник ЭДС Е3 (замыкаем его зажимы) и источник тока J2 (разрываем ветвь с ним) и рассчитываем частичные токи во всех ветвях получившейся схемы при действии только ЭДС Е2;

исключаем из исходной схемы источник ЭДС Е2 (замыкаем его зажимы) и источник тока J2 (разрываем ветвь с ним) и рассчитываем частичные токи во всех ветвях получившейся схемы при действии только ЭДС Е3;

исключаем из исходной схемы источник ЭДС Е2 и источник ЭДС Е3 (замыкаем их зажимы) и рассчитываем частичные токи во всех ветвях получившейся схемы при действии только источника тока J2;

находим полные токи в ветвях исходной сложной схемы как алгебраическую сумму соответствующих частичных токов.

Недостатком метода наложения является его громоздкость в случае расчета достаточно сложной схемы с большим количеством источников.

 

1.6.5. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА

Метод эквивалентного генератора рационально применять в том случае, когда требуется определить ток (или найти его аналитическое выражение) лишь в одной ветви цепи, без нахождения токов в остальных ветвях.

В основе метода лежит замена части цепи, подключенной к зажимам заданной ветви, эквивалентным источником и определение параметров этого источника. В зависимости от выбора вида эквивалентного источника различают метод эквивалентного генератора напряжения (источник ЭДС) или эквивалентного генератора тока (источник тока).

Расчёт методом эквивалентного генератора напряжения заключается в определении ЭДС и внутреннего сопротивления эквивалентного источника и состоит в следующем.

1. В заданной схеме обрывается ветвь, в которой требуется определить ток, и любым из известных методов определяется напряжение холостого хода UХХ на разрыве.

Получаем ЭДС эквивалентного источника: EЭ = UХХ.

2. Определяется входное сопротивление RВХ цепи относительно заданной ветви. Для этого исключаем из схемы все источники и полученную схему преобразовываем (сворачиваем) к одному эквивалентному сопротивлению.

Получаем внутреннее сопротивление эквивалентного источника: rЭ = RВХ.

3. С помощью этих двух преобразований исходная сложная электрическая цепь заменяется эквивалентной одноконтурной схемой (рис.1.20).

Здесь R – сопротивление ветви, в которой необходимо найти ток.

Ток заданной ветви

 

Преобразовав в схеме (см. рис.1.20) источник ЭДС в источник тока, получим схему эквивалентного генератора тока, ток которого равен току короткого замыкания в заданной ветви. Для определения этого тока необходимо замкнуть накоротко сопротивление R заданной ветви и найти ток в ней любым известным методом [2].

Ток заданной ветви в этом случае находится по формуле

В качестве примера применения метода эквивалентного генератора рассмотрим нахождение тока I1 в схеме (см. рис.1.19).

1. Обрывая первую ветвь, получим схему (рис.1.21).

 

 

Найдём напряжение на разрыве UХХ методом узловых потенциалов.

Принимаем потенциал узла 4 известным и равным нулю:
j4 = 0. Тогда система уравнений по методу узловых напряжений в общем виде выглядит следующим образом:

Коэффициенты и свободные члены в системе

Здесь ЭДС .

Подставляем эти значения в систему уравнений. Решив её, получим значения потенциалов всех узлов: , , и .

Тогда напряжение холостого хода будет

2. Определим входное сопротивление цепи RВХ относительно первой ветви. Для этого исключим из схемы оба источника, оставив только их внутреннее сопротивление (внутреннее сопротивление идеального источника ЭДС равно нулю).

Полученная схема (рис.1.22) не содержит ни последовательно, ни параллельно соединенных сопротивлений, поэтому для решения задачи необходимо применить преобразование «звезды» в «треугольник» или наоборот.

 

Преобразуем «треугольник» сопротивлений R2R4R5 в эквивалентную «звезду» R24R25R45 (рис.1.23):

 
 

 

В результате этого преобразования получаем новую схему. Преобразуя последовательно и параллельно соединенные сопротивления (рис.1.24), найдем входное сопротивление схемы RВХ относительно оборванной ветви:

 

 
 

 

 

 

Таким образом, зная параметры эквивалентного генератора, находим ток I1:

 

Проверим расчёт цепи балансом мощностей.

Для схемы (см. рис.1.16) составим уравнение энергетического баланса:

Для учёта мощности источника тока найдём напряжение на его зажимах

и его мощность

.

Так как направления токов через оба источника ЭДС совпадают с направлениями этих ЭДС, то мощности этих источников E2I2 и E3I3 войдут в баланс мощностей со знаком «+»:

 

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1. Что называется электрической цепью?

2. Что такое источник ЭДС? Что такое источник тока?

3. Закон Ома для участка цепи.

4. Первый закон Кирхгофа.

5. Второй закон Кирхгофа.

6. Отличительный признак последовательного соединения.

7. Что называется эквивалентным сопротивлением?

8. Как находится эквивалентное сопротивление участка цепи при последовательном соединении?

9. Отличительный признак параллельного соединения.

10. Как находится эквивалентное сопротивление (проводимость) участка цепи при параллельном соединении?

11. Что такое смешанное соединение потребителей?

12. Какая задача называется прямой? Какая задача называется обратной?

13. В чем заключается расчет методом пропорциональных величин?

14. В чем заключается расчет методом законов Кирхгофа?

15. В чем заключается расчет методом контурных токов?

16. В чем заключается расчет методом узловых напряжений?

17. В чем заключается расчет методом эквивалентного генератора?

18. В чем заключается расчет методом наложения?

19. Какими способами можно проверить правильность расчёта цепи?

20. В чём заключается баланс мощностей?

21. Что представляет собой потенциальная диаграмма?



Узнать еще:

Основы электротехники и электроники: Курс лекций, страница 3

При свертке параллельных ветвей эквивалентное сопротивление всегда меньше наименьшего из сворачиваемых.

Если параллельно соединены n одинаковых сопротивлений (Рис. 3.3), эквивалентное сопротивление в n раз меньше сопротивления любой из ветвей.

Рис. 3.3

Если на участке цепи параллельно соединены лишь два элемента (Рис. 3.4), выражение (3.2) упрощается. В этом случае эквивалентное сопротивление можно определить как отношение произведения двух сопротивлений к их сумме:

Рис. 3.4

4. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

К основным законам электрических цепей относятся закон Ома и законы Кирхгофа.

Закон Ома

Если в ветви не содержится ЭДС, к ней применим уже известный закон Ома для пассивного участка цепи (1.1). Его можно сформулировать и следующим образом. Ток в ветви, не содержащей ЭДС, равен падению напряжения в ветви, деленному на сопротивление ветви (Рис. 4.1):

Рис. 4.1

Закон Ома для ветви, содержащей ЭДС, позволяет найти ток этой ветви по известной разности потенциалов на концах ветви. Ток в ветви, содержащей ЭДС, равен дроби, знаменатель которой – это сопротивление ветви. В числителе дроби – напряжение на концах ветви плюс алгебраическая сумма ЭДС, заключенных между концами ветви. С плюсом берутся напряжения и ЭДС, направление которых совпадает с направлением тока, с минусом – противоположные.

В частности, ток в ветви, изображенной на Рис. 4.2, равен:

.

Рис. 4.2

Первый закон Кирхгофа

В любом узле цепи алгебраическая сумма токов равна нулю. При этом, токи, направленные к узлу, принято считать положительными, токи, направленные от узла, принято считать отрицательными (Рис. 4.3).



Рис. 4.3

По первому закону Кирхгофа можно написать столько уравнений, сколько узлов содержит схема. Но не все они будут независимыми. Если схема содержит  узлов, независимыми будут  уравнений. Оставшееся уравнение будет являться следствием всех предыдущих.

Второй закон Кирхгофа

В любом замкнутом контуре цепи алгебраическая сумма напряжений равна алгебраической сумме ЭДС, включенных в контур.

При этом, положительными считаются те напряжения и ЭДС, которые совпадают с направлением обхода контура, отрицательными считаются напряжения и ЭДС, которые противоположны направлению обхода контура. Направление обхода контура можно выбирать произвольно.

Алгоритм составления уравнения по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура цепи

Для заданного контура (Рис. 4.4 а) уравнение по второму закону Кирхгофа составляется в следующем порядке:

Рис. 4.4 а

  1. Задается направление токов в ветвях (Рис. 4.4 б).

Рис. 4.4 б


  1. Выбирается направление обхода контура (Рис. 4.4 в).

Рис. 4.4 в

  1. Записывается уравнение, в левой части которого – сумма падений напряжений на сопротивлениях ветвей. В правой части – сумма ЭДС контура.

Примечание: Падение напряжения на сопротивлении ветви записывается в соответствии с известным уже законом Ома (1.1):

Применение второго закона Кирхгофа для незамкнутого участка цепи

Второй закон Кирхгофа справедлив только для замкнутого контура. При этом, любой незамкнутый участок цепи можно дополнить до замкнутого контура с помощью напряжения в разрыве незамкнутого участка.

Пример 4.1:

Незамкнутый участок цепи abcd изображен на Рис. 4.5 а.


а)

б)


Рис. 4.5

Дополняем участок до замкнутого контура, добавляя напряжение между незамкнутыми точками c и d (Рис. 4.5 б). Теперь для контура abcd можно записать второй закон Корхгофа:

Применение законов Кирхгофа при наличии в цепи источника тока

Источник тока имеет бесконечно большое сопротивление, поэтому не образует замкнутого контура и не может входить в уравнения второго закона Кирхгофа. Однако, в уравнениях первого закона Кирхгофа источник тока должен содержаться обязательно.

При необходимости записать уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, содержащего источник тока, его заменяют напряжением на выводах источника тока.

Пример 4.2:

Написать уравнение по первому закону Кирхгофа для узла a и уравнение по второму закону Кирхгофа для контура abcd (Рис. 4.6 а).


а)

б)


Рис. 4.6

Уравнение по первому закону Кирхгофа для узла a содержит источник тока и имеет вид:

Для того чтобы написать уравнение по второму закону Кирхгофа для контура abcd, заменяем источник тока напряжением на его выводах (Рис. 4.6 б), задаем направление обхода контура против часовой стрелки и получаем:

Для упрощения расчетов источник тока с параллельным сопротивлением можно заменить на эквивалентный источник ЭДС (Рис. 4.7). После расчета необходимо обязательно вернуться к исходной схеме.

Рис. 4.7

Независимый контур цепи

В принципе, по второму закону Кирхгофа можно составить столько уравнений, сколько контуров содержит цепь. Но не все эти уравнения будут независимыми. Для определения независимости уравнений по второму закону Кирхгофа вводится такое понятие как независимый контур цепи.

Независимый контур цепи – это такой контур, который содержит хотя бы одну новую ветвь, не вошедшую в другие контуры цепи.

Независимые контуры в общем случае выбираются произвольно, но проще всего выбирать их так, чтобы они совпадали с ячейками цепи (Рис. 4.8 б).


а)

б)


Рис. 4.8

Если схема содержит  ветвей и  узлов, число независимых контуров равно

.

Схема на Рис. 4.8 б содержит три независимых контура.

5. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПО ЗАКОНАМ КИРХГОФА ДЛЯ РАСЧЕТА ТОКОВ ЦЕПИ

Законы Кирхгофа можно использовать для расчета токов в ветвях цепи. Главное требование при этом – получение системы независимых уравнений, в которой число неизвестных равно количеству токов, подлежащих определению.

Алгоритм составления системы уравнений по законам Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа, теория и примеры

Большое количество электрических цепей на практике являются сложными. Однако в цепь любого уровня сложности имеет элементы двух простейших видов. Это узлы и замкнутые контуры. Узел – это любая точка разветвления цепи, в которой сошлось три или более проводников, по которым текут токи.

Второе правило (закон) Кирхгофа является следствием обобщенного закона Ома. Так, если в изолированной замкнутой цепи есть один источник ЭДС, то сила тока в цепи будет такой, что сумма падения напряжения на внешнем сопротивлении и внутреннем сопротивлении источника будет равна сторонней ЭДС источника. Если источников ЭДС несколько, то берут их алгебраическую сумму. Знак ЭДС выбирается положительным, если при движении по контуру в положительном направлении первым встречается отрицательный полюс источника. (За положительное направление обхода контура принимают направление обхода цепи либо по часовой стрелке, либо против нее).

Формулировка второго закона Кирхгофа

Произведение алгебраической величины силы тока (I) на сумму вешних и внутренних сопротивлений всех участков замкнутого контура равно сумме алгебраических значений сторонних ЭДС () рассматриваемого контура:

   

Каждое произведение определяет разность потенциалов, которая существовала бы между концами соответствующего участка, если бы ЭДС в нем была равно нулю. Величину называют падением напряжения, которое вызывается током.

Второй закон Кирхгофа иногда формулируют следующим образом:

Для замкнутого контура сумма падений напряжения есть сума ЭДС в рассматриваемом контуре.

Правила Кирхгофа служат для того, чтобы составить систему уравнений, позволяющих найти силу тока для сложной цепи. Направление положительного обхода выбирают для всех контуров одинаковым. При составлении уравнений, используя правила Кирхгофа необходимо внимательно следить за расстановкой знаков токов и ЭДС.

Система уравнений, которая получается при использовании первого и второго закона Кирхгофа является полной и дает возможность отыскать все токи. При составлении уравнений, используя правила Кирхгофа, надо следить за тем, чтобы новое уравнение имело хотя бы одну величину, которая еще не вошла в предыдущие уравнения. Кроме того, необходимо, чтобы система уравнений имела число уравнений равное количеству неизвестных.

Второй закон Кирхгофа следует из того, что электрическое напряжение по замкнутому контуру равно нулю, то есть это правило является следствием основного свойства электростатического поля, которое заключается в том, что работа поля при движении заряда по замкнутой траектории равна нулю.

Примеры решения задач

Второй закон кирхгофа для контура

Законы Кирхгофа являются одной из форм закона сохранения энергии и потому относятся к фундаментальным законам природы.

Первый закон Кирхгофа является следствием принципа непрерывности электрического тока, в соответствии с которым суммарный поток зарядов через любую замкнутую поверхность равен нулю, т.е. количество зарядов выходящих через эту поверхность должно быть равно количеству входящих зарядов. Основание этого принципа очевидно, т.к. при нарушении его электрические заряды внутри поверхности должны были бы либо исчезать, либо возникать без видимых причин.

Если заряды перемещаются внутри проводников, то они образуют в них электрический ток. Величина электрического тока может измениться только в узле цепи, т.к. связи считаются идеальными проводниками. Поэтому, если окружить узел произвольной поверхностью s (рис. 1), то потоки зарядов через эту поверхность будут тождественны токам в проводниках образующих узел и
суммарный ток в узле должен быть равным нулю.

Для математической записи этого закона нужно принять систему обозначений направлений токов по отношению к рассматриваемому узлу. Можно считать токи направленные к узлу положительными, а от узла отрицательными. Тогда для узла рис. 1 уравнение Кирхгофа будет иметь вид I 3 + I 4 — I 1 — I 2 = 0 или I 3 + I 4 = I 1 + I 2 .

Обобщая сказанное на произвольное число ветвей сходящихся в узле, можно сформулировать первый закон Кирхгофа следующим образом:

  • алгебраическая сумма токов в любом узле электрической цепи равна нулю
  • в любом узле сумма токов направленных к узлу равна сумме токов направленных от узла

, где p + q = n .

Очевидно, что обе формулировки равноценны и выбор формы записи уравнений может быть произвольным. Существенным является только соглашение о знаках токов для данной цепи, т.е. в пределах описания одной электрической цепи нельзя для разных узлов использовать разные знаки для токов направленных к узлам или от узлов .

При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа направления токов в ветвях электрической цепи выбирают обычно произвольно . При этом необязательно даже стремиться, чтобы во всех узлах цепи присутствовали токи разных направлений. Может получиться так, что в каком-либо узле все токи сходящихся в нем ветвей будут направлены к узлу или от узла, нарушая тем самым принцип непрерывности. В этом случае в процессе определения токов один или несколько из них окажутся отрицательными, что будет свидетельствовать о протекании их в направлении противоположном принятому.

Второй закон Кирхгофа связан с понятием потенциала электрического поля, как работы, совершаемой при перемещении единичного точечного заряда в пространстве. Если такое перемещение совершается по замкнутому контуру , то суммарная работа при возвращении в исходную точку будет равна нулю. В противном случае путем обхода контура можно было бы получать положительную энергию, нарушая закон ее сохранения.

Каждый узел или точка электрической цепи обладает собственным потенциалом и, перемещаясь вдоль замкнутого контура, мы совершаем работу, которая при возврате в исходную точку будет равна нулю. Это свойство потенциального электрического поля и описывает второй закон Кирхгофа в применении к электрической цепи.

Он также как и первый закон формулируется в двух вариантах, связанных с тем, что падение напряжения на источнике ЭДС численно равно электродвижущей силе, но имеет противоположный знак. Поэтому, если какая либо ветвь содержит сопротивление и источник ЭДС, направление которой согласно с направлением тока, то при обходе контура эти два слагаемых падения напряжения будут учитываться с разными знаками. Если же падение напряжения на источнике ЭДС учесть в другой части уравнения, то его знак будет соответствовать знаку напряжения на сопротивлении.

Сформулируем оба варианта второго закона Кирхгофа , т.к. они принципиально равноценны:

  • алгебраическая сумма падений напряжения вдоль любого замкнутого контура электрической цепи равна нулю

Примечание: знак + выбирается перед падением напряжения на резисторе, если направление протекания тока через него и направление обхода контура совпадают; для падений напряжения на источниках ЭДС знак + выбирается, если направление обхода контура и направление действия ЭДС встречны независимо от направления протекания тока;

  • алгебраическая сумма ЭДС вдоль любого замкнутого контура равна алгебраической сумме падений напряжения на резисторах в этом контуре

, где p + q = n

Примечание: знак + для ЭДС выбирается в том случае, если направление ее действия совпадает с направлением обхода контура, а для напряжений на резисторах знак + выбирается, если в них совпадают направление протекания тока и направление обхода.

Здесь также как и в первом законе оба варианта корректны, но на практике удобнее использовать второй вариант, т.к. в нем проще определить знаки слагаемых.

С помощью законов Кирхгофа для любой электрической цепи можно составить независимую систему уравнений и определить любые неизвестные параметры, если число их не превышает число уравнений. Для выполнения условий независимости эти уравнения должны составляться по определенным правилам.

Общее число уравнений N в системе равно числу ветвей N в минус число ветвей, содержащих источники тока N J , т.е. N = N в — N J .

Наиболее простыми по выражениям являются уравнения по первому закону Кирхгофа, однако их число N 1 не может быть больше числа узлов N у минус один.
Недостающие уравнения составляются по второму закону Кирхгофа, т.е.

N 1 = N у -1 ;

N 2 = N — N 1 = N в — N J — N 1.

Сформулируем алгоритм составления системы уравнений по законам Кирхгофа :

  1. определить число узлов и ветвей цепи N у и N в ;
  2. определить число уравнений по первому и второму законам N 1 и N 2 . ;
  3. для всех ветвей (кроме ветвей с источниками тока) произвольно задать
    направления протекания токов;
  4. для всех узлов, кроме одного, выбранного произвольно, составить уравнения по первому закону Кирхгофа;
  5. произвольно выбрать на схеме электрической цепи замкнутые контуры таким образом, чтобы они отличались друг от друга по крайней мере одной ветвью и чтобы все ветви, кроме ветвей с источниками тока, входили по крайней мере в один контур;
  6. произвольно выбрать для каждого контура направление обхода и составить уравнения по второму закону Кирхгофа, включая в правую часть уравнения ЭДС действующие в контуре, а в левую падения напряжения на резисторах. Примечание: Знак ЭДС выбирают положительным, если направление ее действия совпадает с направлением обхода независимо от направления тока; а знак падения напряжения на резисторе принимают положительным, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

Рассмотрим этот алгоритм на примере рис 2.

Здесь светлыми стрелками обозначены выбранные произвольно направления токов в ветвях цепи. Ток в ветви с R 4 не выбирается произвольно, т.к. в этой ветви он определяется действием источником тока.

Число ветвей цепи равно 5, а т.к. одна из них содержит источник тока, то общее число уравнений Кирхгофа равно четырем.

Число узлов цепи равно трем ( a, b и c ), поэтому число уравнений по первому закону Кирхгофа равно двум и их можно составлять для любой пары из этих трех узлов. Пусть это будут узлы a и b , тогда

b ) I R 3 + I E 2 = I R 1 + I R 2 Ы I R 3 + I E 2 — I R 1 — I R 2 = 0

По второму закону Кирхгофа нужно составить два уравнения. Выберем два контура I и II так, чтобы все ветви, кроме ветви с источником тока попали по крайней мере в один из них, и зададим произвольно направление обхода как показано стрелками. Тогда

II) E 2 = I R 2 R 2

При выборе контуров и составлении уравнений все ветви с источниками тока должны быть исключены, т.е. контуры обхода не должны включать ветви с источниками тока. Это не означает что для контуров с источниками тока нарушается второй закон Кирхгофа. Просто при необходимости определения падения напряжения на источнике тока или на других элементах ветви с источником тока это можно сделать после решения системы уравнений. Например, на рис. 2 можно создать замкнутый контур из элементов R 3 , R 4 , J и E 2 , и для него будет справедливым уравнение

I R 3 R 3 + E 2 + JR 4 + U J = 0 ,

где U J — падение напряжения на источнике тока J.

Из сказанного выше очевидно, что законы Кирхгофа необязательно использовать в виде систем уравнений. Они справедливы всегда для любого узла и для любого замкнутого контура любой электрической цепи.

Современные средства математического анализа позволяют легко получить результат решения составленной выше системы уравнений, если она записана в матричной форме A ґ X = B . Это можно сделать, например, для токов в качестве неизвестных.

Каждая строка матрицы A должна соответствовать одному из уравнений (7)-(10). Поэтому в строки матрицы A нужно включить все коэффициенты при токах соответствующего уравнения, в той последовательности, в какой эти токи включены в координаты вектора неизвестных величин . Если какой-либо ток отсутствует в уравнении, то в качестве элемента матрицы нужно указать нуль. Для включения в матрицу уравнения по первому закону Кирхгофа удобнее записывать в форме (1) с нулевой правой частью, однако, для уравнения (7) нужно перенести ток источника J в правую часть, т.к. он не входит в число неизвестных.

Вектор неизвестных токов X представляет собой столбец, в который включены неизвестные токи в произвольной последовательности.

Вектор B представляет собой столбец, координатами которого являются источники электрической энергии, действующие в цепи (правая часть уравнений (7)-(10)). Порядок включения их в столбец должен соответствовать порядку записи уравнений в строки матрицы A .

Составим матричное уравнение для схемы рис. 2 , используя полученные ранее уравнения (7)-(8) и (9)-(10) .

Здесь для упрощения восприятия строки записи помечены указателями на тот узел или контур, которому они соответствуют.

Законы Кирхгофа устанавливают соотношения между токами и напряжениями в разветвленных электрических цепях произвольного типа. Законы Кирхгофа имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения любых электротехнических задач. Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при постоянных и переменных напряжениях и токах.

Первый закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда. Он состоит в том, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле, равна нулю.

где – число токов, сходящихся в данном узле. Например, для узла электрической цепи (рис. 1) уравнение по первому закону Кирхгофа можно записать в виде I1 — I2 + I3 — I4 + I5 = 0

В этом уравнении токи, направленные к узлу, приняты положительными.

Физически первый закон Кирхгофа – это закон непрерывности электрического тока.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре

где k – число источников ЭДС; m – число ветвей в замкнутом контуре; Ii , Ri – ток и сопротивление i -й ветви.

Так, для замкнутого контура схемы (рис. 2 ) Е1 — Е2 + Е3 = I1R1 — I2R2 + I3R3 — I4R4

Замечание о знаках полученного уравнения:

1) ЭДС положительна, если ее направление совпадает с направлением произвольно выбранного обхода контура;

2) падение напряжения на резисторе положительно, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

Физически второй закон Кирхгофа характеризует равновесие напряжений в любом контуре цепи.

Расчет разветвленной электрической цепи с помощью законов Кирхгофа

Метод законов Кирхгофа заключается в решении системы уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа.

Метод заключается в составлении уравнений по первому и второму законам Кирхгофа для узлов и контуров электрической цепи и решении этих уравнений с целью определения неизвестных токов в ветвях и по ним – напряжений. Поэтому число неизвестных равно числу ветвей b , следовательно, столько же независимых уравнений необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

Число уравнений, которые можно составить на основании первого закона, равно числу узлов цепи, причем только ( y – 1) уравнений являются независимыми друг от друга.

Независимость уравнений обеспечивается выбором узлов. Узлы обычно выбирают так, чтобы каждый последующий узел отличался от смежных узлов хотя бы одной ветвью. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, т.е. число уравнений b — (y — 1) = b — y +1 .

Контур называется независимым, если он содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры.

Составим систему уравнений Кирхгофа для электрической цепи (рис. 3 ). Схема содержит четыре узла и шесть ветвей.

Поэтому по первому закону Кирхгофа составим y — 1 = 4 — 1 = 3 уравнения, а по второму b — y + 1 = 6 — 4 + 1 = 3 , также три уравнения.

Произвольно выберем положительные направления токов во всех ветвях (рис. 4 ). Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

Составляем необходимое число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа

Полученная система уравнений решается относительно токов. Если при расчете ток в ветви получился с минусом, то его направление противоположно принятому направлению.
Потенциальная диаграмма – это графическое изображение второго закона Кирхгофа, которая применяется для проверки правильности расчетов в линейных резистивных цепях. Потенциальная диаграмма строится для контура без источников тока, причем потенциалы точек начала и конца диаграммы должны получиться одинаковыми.

Рассмотрим контур abcda схемы, изображенной на рис. 4. В ветке ab между резистором R1 и ЭДС E1 обозначим дополнительную точку k.

Рис. 4. Контур для построения потенциальной диаграммы

Потенциал любого узла принимаем равным нулю (например, ?а= 0), выбираем обход контура и определяем потенциалы точек контура: ?а = 0, ?к = ?а — I1R1 , ? b = ? к + Е1, ?с = ? b — I2R2 , ? d = ?c — Е2, ? a = ?d + I3R3 = 0

При построении потенциальной диаграммы необходимо учитывать, что сопротивление ЭДС равно нулю (рис. 5 ).

Рис. 5. Потенциальная диаграмма

Законы Кирхгофа в комплексной форме

Для цепей синусоидального тока законы Кирхгофа формулируются так же, как и для цепей постоянного тока, но только для комплексных значений токов и напряжений.

Первый закон Кирхгофа : «алгебраическая сумма комплексов тока в узле электрической цепи равна нулю»

Второй закон Кирхгофа : «в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех пассивных элементах этого контура».

В сложных электрических цепях, то есть где имеется несколько разнообразных ответвлений и несколько источников ЭДС имеет место и сложное распределение токов. Однако при известных величинах всех ЭДС и сопротивлений резистивных элементов в цепи мы можем вычистить значения этих токов и их направление в любом контуре цепи с помощью первого и второго закона Кирхгофа. Суть законов Кирхгофа я довольно кратко изложил в своем учебнике по электронике, на страницах сайта http://www.sxemotehnika.ru.

Пример сложной электрической цепи вы можете посмотреть на рисунке 1.

Рисунок 1. Сложная электрическая цепь.

Иногда законы Кирхгофа называют правилами Кирхгофа, особенно в старой литературе.

Итак, для начала напомню все-таки суть первого и второго закона Кирхгофа, а далее рассмотрим примеры расчета токов, напряжений в электрических цепях, с практическими примерами и ответами на вопросы, которые задавались мне в комментариях на сайте.

Первый закон Кирхгофа

Формулировка №1: Сумма всех токов, втекающих в узел, равна сумме всех токов, вытекающих из узла.

Формулировка №2: Алгебраическая сумма всех токов в узле равна нулю.

Поясню первый закон Кирхгофа на примере рисунка 2.

Рисунок 2. Узел электрической цепи.

Здесь ток I1— ток, втекающий в узел , а токи I2 и I3 — токи, вытекающие из узла. Тогда применяя формулировку №1, можно записать:

Что бы подтвердить справедливость формулировки №2, перенесем токи I2 и I 3 в левую часть выражения (1), тем самым получим:

Знаки «минус» в выражении (2) и означают, что токи вытекают из узла.

Знаки для втекающих и вытекающих токов можно брать произвольно, однако в основном всегда втекающие токи берут со знаком «+», а вытекающие со знаком «-» (например как получилось в выражении (2)).

Можно посмотреть отдельный видеоурок по первому закону Кирхофа в разделе ВИДЕОУРОКИ.

Второй закон Кирхгофа.

Формулировка: Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех резистивных элементах в этом контуре.

Здесь термин «алгебраическая сумма» означает, что как величина ЭДС так и величина падения напряжения на элементах может быть как со знаком «+» так и со знаком «-». При этом определить знак можно по следующему алгоритму:

1. Выбираем направление обхода контура (два варианта либо по часовой, либо против).

2. Произвольно выбираем направление токов через элементы цепи.

3. Расставляем знаки для ЭДС и напряжений, падающих на элементах по правилам:

— ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура записываются со знаком «+», в противном случае ЭДС записываются со знаком «-».

— напряжения, падающие на элементах цепи записываются со знаком «+», если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, в противном случае напряжения записываются со знаком «-».

Например, рассмотрим цепь, представленную на рисунке 3, и запишем выражение согласно второму закону Кирхгофа, обходя контур по часовой стрелке, и выбрав направление токов через резисторы, как показано на рисунке.

Рисунок 3. Электрическая цепь, для пояснения второго закона Кирхгофа.

Предлагаю посмотреть отдельный видеоурок по второму закону Кирхогфа (теория).

Расчеты электрических цепей с помощью законов Кирхгофа.

Теперь давайте рассмотрим вариант сложной цепи, и я вам расскажу, как на практике применять законы Кирхгофа.

Итак, на рисунке 4 имеется сложная цепь с двумя источниками ЭДС величиной E1=12 в и E2=5 в , с внутренним сопротивлением источников r1=r2=0,1 Ом, работающих на общую нагрузку R = 2 Ома. Как же будут распределены токи в этой цепи, и какие они имеют значения, нам предстоит выяснить.

Рисунок 4. Пример расчета сложной электрической цепи.

Теперь согласно первому закону Кирхгофа для узла А составляем такое выражение:

так как I1 и I 2 втекают в узел А , а ток I вытекает из него.

Используя второй закон Кирхгофа, запишем еще два выражения для внешнего контура и внутреннего левого контура, выбрав направление обхода по часовой стрелке.

Для внешнего контура:

Для внутреннего левого контура:

Итак, у нас получилась система их трех уравнений с тремя неизвестными:

Теперь подставим в эту систему известные нам величины напряжений и сопротивлений:

12 = 0,1I1 +2I.

Далее из первого и второго уравнения выразим ток I2

12 = 0,1I1 + 2I.

Следующим шагом приравняем первое и второе уравнение и получим систему из двух уравнений:

12 = 0,1I1 + 2I.

Выражаем из первого уравнения значение I

I = 2I1– 70;

И подставляем его значение во второе уравнение

Решаем полученное уравнение

12 = 0,1I1 + 4I1 – 140.

12 + 140= 4,1I1

Теперь в выражение I = 2I1– 70 подставим значение

I1=37,073 (А) и получим:

I = 2*37,073 – 70 = 4,146 А

Ну, а согласно первому закона Кирхгофа ток I2=I — I1

I2=4,146 — 37,073 = -32,927

Знак «минус» для тока I2 означает, то что мы не правильно выбрали направление тока, то есть в нашем случае ток I 2 вытекает из узла А .

Теперь полученные данные можно проверить на практике или смоделировать данную схему например в программе Multisim.

Скриншот моделирования схемы для проверки законов Кирхгофа вы можете посмотреть на рисунке 5.

Рисунок 5. Сравнение результатов расчета и моделирования работы цепи.

Для закрепления результатата предлагаю посмотреть подготовленное мной видео:

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Законы Кирхгофа — Технарь

Закон Ома устанавливает зависимость между силой тока, напряжением и сопротивлением для простейшей электрической цепи, представляющей собой один замкнутый контур. В практике встречаются более сложные (разветвленные) электрические цепи, в которых имеются несколько замкнутых контуров и несколько узлов, к которым сходятся токи, проходящие по отдельным ветвям. Значе­ния токов и напряжений для таких цепей можно находить при помощи законов Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа устанавливает зависимость между то­ками для узлов электрической цепи, к которым подходит несколько ветвей. Согласно этому закону алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю:

∑I = 0 (16)

При этом токи, направленные к узлу, берут с одним знаком (например, положительным), а токи, направленные от узла,— с противоположным знаком (отрицательным). Например, для узла А.

I1 + I2 + I3 – I4 – I5 = 0 (17)

Преобразуя это уравнение, получим, что сумма токов, направленных к узлу электрической цепи, равна сумме токов, направленных от этого узла:

I1 + I2 + I3 = I4 + I5 (17′)

В данном случае имеет место полная аналогия с распределением потоков воды в соединенных друг с другом трубопроводах.

Второй закон Кирхгофа устанавливает зависимость между э. д. с. и напряжением в замкнутой электрической цепи. Согласно этому закону во всяком замкнутом контуре алгебраическая сумма э. д. с. равна алгебраической сумме падений напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур:

∑E = ∑IR (18)

При составлении формул, характеризующих второй закон Кирхгофа, значения э. д. с. E и падений напряжений IR считают положительными, если направления э. д. с. и токов на соответствующих участках контура совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура. Если же направления э. д. с. и токов на соответствующих участках контура противоположны выбранному направлению обхода, то такие э. д. с. и падения напряжения считают отрицательными.

Рассмотрим в качестве примера электрическую цепь, в которой имеются два источника с электродвижущими силами E1 и E2 (рис. 24, а), внутренними сопротивлениями Ro1, Ro2 и два приемника с сопротивлениями R1 и R2. Применяя второй закон Кирхгофа для «этой цепи и выбирая направление ее обхода по часовой стрелке,
получим:

E1 – E2 = IR01 + IR02 + IR1 + IR

При этом э. д. с. E1 и ток I совпадают с выбранным направлением обхода контура и считаются положительными, а э. д. с. Е2, противоположная этому направлению, считается отрицательной.

Если в электрической цепи э. д. с. источников электрической энергии при обходе соответствующего контура направлены навстречу друг другу (см. рис. 24, а), то такое включение называют встречным. В этом случае на основании второго закона Кирхгофа ток I = (E1-E2)/(R1+R2+R01+R02).Встречное направление э. д. с. имеет место, например, на э. п. с.при включении электродвигателей постоянного тока (их можно рассматривать как некоторые источники э. д. с.) в две параллельные группы, а также при параллельном включении аккумуляторов в батарее.

Рис 24. Схемы электрических цепей с несколькими источниками и приемниками электрической энергии: а и б — неразветвленных; в — разветвленной

Если же э. д. с. источников электрической энергии имеют по контуру одинаковое направление (рис. 24, б), то такое включение называют согласным и ток I = (E1-E2)/(R1+R2+R01+R02). В некоторых случаях такое включение недопустимо, так как ток в цепи резко возрастает.

Если в электрической цепи имеются ответвления (рис. 24, в), то по отдельным ее участкам проходят различные токи I1 и I2. Согласно второму закону Кирхгофа E1-E2=I1R01+I1R1-I2R2-I2R02-I2R3+I1R4

При составлении этого уравнения э. д. с. Е1 и ток I1 считаются положительными, так как совпадают с принятым направлением обхода контура, э. д. с. Е2 и ток I2 — отрицательными.

Анализ цепи

— законы Кирхгофа с источником тока, последовательно подключенным к резистору

Итак, вот ваша схема без всех странных стрелок, которые вы добавили:

смоделировать эту схему — Схема создана с помощью CircuitLab


Первый шаг — выбрать узел и назвать его нулем (землей). Вы можете сделать это ровно с одним узлом любой схемы. Если я вижу узел с МНОЖЕСТВОМ ветвей, заканчивающихся на нем, я часто выбираю его как основу, поскольку он уменьшает количество терминов в некоторых выражениях.Но в конце концов это не имеет значения.

Учитывая, как вы назначаете имена узлов, я выбрал это основание:

смоделировать эту схему


Второй шаг — сбросить \ $ R_1 \ $. Это бесполезно. Источник тока имеет бесконечный импеданс, и любое конечное сопротивление, включенное последовательно с ним, совершенно не имеет значения. Целью только является изменение напряжения согласования источника тока (изменение которого, конечно же, немедленно отменяется изменением сопротивления.)

Так что просто сбросьте это.

смоделировать эту схему


Третий шаг — пометить оставшиеся узлы.

Там я последовал вашим указаниям:

смоделировать эту схему

Учитывая, что мы оба достигли одинакового количества узлов, я подозреваю, что у вас уже есть навыки, чтобы применить то, что я сделал выше. Так что хорошо.


Теперь, в качестве четвертого шага, просто запишите уравнения для каждого из отмеченных узлов:

$$ \ begin {align *} \ frac {V_A} {R_3} & = \ frac {V_C} {R_3} + I_ {E_2} + I_ {A_1} \ tag {$ V_A $} \\\\ \ frac {V_B} {R_4} + \ frac {V_B} {R_6} + I_ {A_1} & = \ frac {V_D} {R_4} + \ frac {0 \: \ textrm {V}} {R_6} \ tag {$ V_B $} \\\\ \ frac {V_C} {R_3} + \ frac {V_C} {R_5} & = \ frac {V_A} {R_3} + \ frac {V_D} {R_5} + I_ {E_6} \ tag {$ V_C $} \\ \\ \ frac {V_D} {R_4} + \ frac {V_D} {R_5} + I_ {E_2} & = \ frac {V_B} {R_4} + \ frac {V_C} {R_5} \ tag {$ V_D $} \ end {align *} $$

Это достигается за счет удержания всех исходящих токов с левой стороны и всех входящих токов с правой стороны.Давайте обсудим модифицированный узловой метод jonk , который вы не часто увидите, но который на самом деле намного легче отслеживать.

Для каждого узла «представьте», что вы сидите в середине узел (который похож на плоский маленький квадратный пол, сидящий на каком-то высота, которую вы еще не знаете, на длинном шесте «оттуда» где-нибудь. «) Сверху на ваш пол льется вода. знаю, с какой высоты, но вы можете сказать, что он падает на ваш пол.Кроме того, вода, попадающая на ваш маленький пол, теперь стекает с края и проливается на другие этажи ниже вашего. Ты не знаешь где они тоже. Но вы знаете, что они должны быть там. (В «вода» течет, высота этих небольших этажей / узлов равна напряжение этажа / узла.)

Таким образом, левая сторона представляет собой токи, текущие и вытекающие из края вашего пола и на другие близлежащие этажи. И правая сторона представляет собой токи, текущие внутрь и на ваш пол от других близлежащие этажи.

(В соответствии с этой ментальной моделью вы можете представить, что текущая и Источники напряжения могут быть подобны конвейерам, которые могут перемещать воду обратно вверх, чтобы верхние этажи, так сказать. Кроме того, вода никогда не теряется, и все это остается в игре, и вода не может скапливаться на полу — сетка поток на пол должен равняться чистому потоку с него — KCL! — и, следовательно обоснование для установки левой стороны равной правой.)

Я выбрал «направление» для \ $ I_ {E_2} \ $ и \ $ I_ {E_6} \ $, что становится очевидным по тому, поместил ли я этот ток в левую или правую часть уравнения.Единственное правило — я последовательна в этом. Здесь я решил, что ток вытекает из клеммы (+) источника напряжения.

Итак, именно в этот момент может показаться, что есть шесть неизвестных, \ $ V_A \ $, \ $ V_B \ $, \ $ V_C \ $, \ $ V_D \ $, \ $ I_ {E_2} \ $, и \ $ I_ {E_6} \ $, и всего четыре уравнения. Один из способов решить эту проблему — использовать так называемые «суперузлы» при разработке приведенного выше уравнения. Но это просто вводит еще одну терминологию, которую я хотел бы здесь избежать. Итак, давайте придерживаться приведенных выше уравнений.

Что еще мы знаем? Как насчет того, что \ $ V_A = V_D + V_ {E_2} \ $ и \ $ V_C = V_ {E_6} \ $? Отлично. Теперь у нас есть шесть неизвестных и шесть уравнений. Так что это работает. Мы можем либо подставить эти два уравнения в другие четыре, уменьшив количество переменных до четырех, либо оставить шесть неизвестных и скопировать эти два добавленных уравнения. Как вы подойдете к этому, зависит от вас. Но давайте выполним замены, так как это дает меньше уравнений и это легко сделать без особого шанса на недоразумение:

$$ \ begin {align *} \ frac {V_D + V_ {E_2}} {R_3} & = \ frac {V_ {E_6}} {R_3} + I_ {E_2} + I_ {A_1} \ tag {$ V_A $} \\\\ \ frac {V_B} {R_4} + \ frac {V_B} {R_6} + I_ {A_1} & = \ frac {V_D} {R_4} \ tag {$ V_B $} \\\\ \ frac {V_ {E_6}} {R_3} + \ frac {V_ {E_6}} {R_5} & = \ frac {V_D + V_ {E_2}} {R_3} + \ frac {V_D} {R_5} + I_ { E_6} \ tag {$ V_C $} \\\\ \ frac {V_D} {R_4} + \ frac {V_D} {R_5} + I_ {E_2} & = \ frac {V_B} {R_4} + \ frac {V_ {E_6}} {R_5} \ tag {$ V_D $ } \ end {align *} $$

Теперь неизвестными являются просто \ $ V_B \ $, \ $ V_D \ $, \ $ I_ {E_2} \ $ и \ $ I_ {E_6} \ $.{-1} \ begin {bmatrix} \ frac {V_ {E_6} -V_ {E_2}} {R_3} + I_ {A_1} \\ — I_ {A_1} \\ \ frac {V_ {E_2} -V_ {E_6}} {R_3 } — \ frac {V_ {E_6}} {R_5} \\\ frac {V_ {E_6}} {R_5} \ end {bmatrix} \ end {align *} $$

Если вы вставите эти уравнения в какой-нибудь решатель или сделаете это вручную, вы должны получить:

$$ \ begin {align *} V_B & = — \ frac {5} {8} \: \ textrm {V} \\ V_D & = 8 \ frac {3} {4} \: \ textrm {V} \\ I_ {E_2} & = — 8 \ frac {1} {8} \: \ textrm {A} \\ I_ {E_6} & = — \ frac {5} {8} \: \ textrm {A} \ end {align *} $$

И оттуда вы сможете ответить на любые количественные вопросы об остальной части схемы, например о значении для \ $ V_A-V_B \ $.

Закон напряжения Кирхгофа (Второй закон) »Электроника

Закон Кирхгофа о напряжении является его вторым законом анализа цепей и утверждает, что напряжение вокруг контура в сумме равно нулю, то есть генерация потенциала равна рассеиваемому потенциалу.


Законы Кирхгофа Включает:
Основы законов Кирхгофа Текущий закон Кирхгофа (первый закон) Закон Кирхгофа о напряжении (второй закон)


Закон напряжения Кирхгофа также известен как второй закон Кирхгофа и является одним из ключевых инструментов, используемых при анализе электрических и электронных схем.

Закон напряжения используется в различных областях, где проводится анализ электрических и электронных цепей. Это один из ключевых методов, используемых в различных программных инструментах для анализа цепей.

Используя закон, можно получить представление об анализе цепи, которое было бы невозможно с помощью других средств. Во многих отношениях основа закона: сохранение энергии и сохранение заряда, проста, но он дает новый взгляд на электрические и электронные схемы, который невозможен при использовании более ранних представлений о схемах.

Определение закона напряжения Кирхгофа

Чтобы лучше понять закон напряжения Кирхгофа, первым делом нужно взглянуть на определение закона напряжения. Сделав это, можно будет легче приступить к объяснениям.

Определение закона Кирхгофа о напряжении:

Закон о напряжении гласит, что алгебраическая сумма напряжений на любом замкнутом пути электрической или электронной сети в любом единственном направлении равна нулю.

В терминах электрических и электронных схем это означает, что в любом контуре в цепи сумма всех потенциалов, создаваемых источником, отбрасываемых или рассеиваемых электронным компонентом, должна равняться нулю.

Это можно выразить математически:

При суммировании всех напряжений вокруг контура это означает, что необходимо учитывать полярность: источники добавляют напряжение, а другие электронные компоненты, такие как резисторы, снижают напряжение.

Закон Кирхгофа о напряжении подчиняется принципу сохранения энергии. Если зонд перемещается по контуру цепи, будут возникать различные источники и падения потенциала. Они должны в сумме равняться нулю, потому что, когда датчик возвращается в начальную точку, он должен иметь тот же потенциал, что и в начале.

Объяснение закона Кирхгофа о напряжении

Возможно, лучший способ объяснить закон напряжения Кирхгофа — это привести простой пример. возьмем простую электронную схему, представленную ниже, состоящую из батареи (источника напряжения) и трех резисторов, соединенных петлей.

Этот простой пример можно использовать для первого взгляда на то, как закон работает в реальном сценарии.

Простой контурный контур, показывающий источник напряжения и три резистора

Чтобы проиллюстрировать, как второй закон Кирхгофа работает в этой схеме, мы взяли простой замкнутый контур с тремя резисторами и источником напряжения.Используемые цифры были выбраны, чтобы упростить вычисления и сделать пример более понятным.

Можно измерить напряжения на каждом компоненте в цепи, а затем сложить их. В каждом случае измеритель применяется с полярностью измерителя в одном и том же смысле в соответствии с направлением вращения.

Измерение напряжений в простой петле цепи по закону напряжения Кирхгофа
Обратите внимание, что отрицательный провод для измерительного прибора всегда измеряет крайнюю точку против часовой стрелки вокруг компонента

Чтобы посмотреть на схему дальше, необходимо определить полное сопротивление .Этого легко добиться, потому что полное сопротивление последовательно включенных резисторов складывается из отдельных сопротивлений. Это означает, что общее сопротивление составляет 1000 Ом.

По закону Ома текущий ток составляет V / R = 100/1000 = 0,1 А. Затем можно рассчитать напряжения на отдельных резисторах по закону Ома, используя тот факт, что ток через каждый резистор равен 0,1 А.

Важно правильно выставить знак падения напряжения. Видно, что при измерении напряжения счетчиками с положительным выводом счетчика, направленным против часовой стрелки, напряжение батареи будет положительным, но падение напряжения на резисторах будет отрицательным.

Напряжения и полярности для простой схемы для демонстрации закона Кирхгофа

Напряжения можно свести в таблицу напряжения вокруг контура схемы и просуммировать их, чтобы увидеть общий эффект.

Закон Кирхгофа о напряжении в более крупных схемах

Приведенная выше демонстрация очень просто показывает, что закон Кирхгофа по напряжению применим к простой петлевой схеме. Однако те же принципы могут применяться к гораздо более сложным схемам, состоящим из нескольких контуров цепи и т. Д.

Именно в более сложных схемах закон Кирхгофа проявляет себя и становится чрезвычайно полезным. Здесь он позволяет детально анализировать схемы и служит основой для многих пакетов программного обеспечения для анализа электронных схем.

Стоит взглянуть на типичный пример системы с двумя петлями в ней. Это дает реальную форму примера, где часто есть несколько циклов. Те же базовые методы, которые используются для решения этого более простого примера, могут быть расширены для большего количества циклов.

Простая двухконтурная схема для анализа

Можно видеть, что электронная схема состоит из двух батарей с двумя резисторами, последовательно включенными с каждой батареей, а затем один резистор, подключенный к соединению двух других резисторов с землей.Несмотря на ограниченное количество электронных компонентов, для примера можно упростить расчеты, сохранив при этом используемые основные принципы.

В частности, при использовании нескольких контуров важно убедиться, что в соответствии с условными обозначениями, по которым в разных контурах будут суммироваться напряжения. При условии, что каждый цикл суммирован правильно, общие уравнения будут работать, но неправильные признаки могут вызвать проблемы.

В приведенной ниже электронной схеме направления выбраны, и напряжения могут быть соответственно суммированы.

Были выбраны направления для напряжений.

В контуре 1 ток, текущий от батареи, принимается как I 1 , и аналогично ток от батареи в контуре 2 равен I 1 .

Можно создать два одновременных уравнения для двух контуров:

100- (500I1) +400 (I1 + I2) = 0

50- (300I2) +400 (I1 + I2) = 0

Выделив различные переменные и затем подставив их в другое уравнение, можно вычислить токи, которые составят:

I1 = 547 = 0.106A

I2 = 194 = 0,011A

Одновременные уравнения не всегда приводят к очень простым вычислениям, но видно, что можно рассчитать два уровня тока в цепях, учитывая, что в резисторе R 2 ток складывается из обоих I 1 и я 1 .

Хотя вычисления могут быть длинными, это очень эффективный метод анализа электронных схем. Даже если количество циклов увеличивается, в каждом цикле остается только одно неизвестное.Используя компьютерные методы, можно выполнить анализ схем на некоторых больших электронных схемах.

Соответственно, Закон Кирхгофа о напряжении является ключевым инструментом в наборе инструментов для проектирования электронных схем. Хотя они не могут использоваться в их элементарной форме, они, вероятно, будут включены в пакеты программного обеспечения для анализа электронных схем.

Дополнительные концепции и руководства по основам электроники:
Voltage Текущий Власть Сопротивление Емкость Индуктивность Трансформеры Децибел, дБ Законы Кирхгофа Q, добротность РЧ шум
Вернуться в меню «Основные понятия электроники».. .

Кирхгоф — обзор | Темы ScienceDirect

10.2 Законы сохранения — Текущий закон Кирхгофа: узловой анализ

Текущий закон Кирхгофа также можно использовать для анализа цепей. Этот закон, основанный на сохранении заряда, был дан в уравнении 10.2 и повторяется здесь:

(10.14) ∑Nodei = 0

KCL лучше всего подходит для анализа схем с большим количеством контуров, но только с несколькими точками подключения. На рис. 10.17 показана модель Ходжкина – Хаксли нервной мембраны.Три комбинации напряжения и резистора представляют канал калиевой мембраны, канал натриевой мембраны и канал хлоридной мембраны, а C — емкость мембраны. Для анализа этой схемы требуются четыре уравнения сетки, но только одно узловое уравнение. В этой модели большинство компонентов нелинейны, по крайней мере, во время потенциала действия, поэтому модель не может быть решена аналитически, как это делается с нашими линейными процессами. Тем не менее, определяющее уравнение (я) может быть создано с использованием узлового анализа и может быть решено с помощью компьютерного моделирования.

Рисунок 10.17. Модель нервной оболочки, разработанная Ходжкином и Хаксли. Три комбинации напряжения и резистора представляют собой ионные каналы в мембране, которые поддерживают напряжение покоя и опосредуют потенциал действия. Уравнение, описывающее эту модель, лучше всего разработать с помощью KCL и узлового анализа.

Другой пример схемы, подходящей для узлового анализа, показан на рисунке 10.18. Эта схема имеет четыре сетки, и анализ сетки приведет к четырем одновременным уравнениям.Эта же схема имеет только два узла (отмечены A и B, опять же, точки заземления не учитываются) и потребует решения только двух узловых уравнений. Если используется MATLAB, то решение задачи с четырьмя уравнениями на самом деле не намного сложнее, чем решение задачи с двумя уравнениями; это просто вопрос добавления еще нескольких элементов в вектор напряжения и матрицу импеданса. Однако, когда схемы используются в качестве моделей, представляющих физиологические процессы, как на рисунке 10.17, более краткое описание, данное узловыми уравнениями, имеет большую ценность.

Рисунок 10.18. Схема, состоящая из четырех сеток, но только двух узлов. Узлы — это точки подключения, обозначенные A и B. К узлам относятся все соединения, которые находятся под одинаковым напряжением, как показано пунктирными линиями. Точка заземления (линия внизу) не считается независимым узлом, поскольку ее напряжение, по определению, зафиксировано на нуле. Узловой анализ работает с токами с использованием KVL и проще всего, если источники являются источниками тока.

Схема на рисунке 10.18 содержит источник тока, а не источник напряжения, как мы видели в предыдущих примерах. Это связано с тем, что узловой анализ является применением действующего закона, поэтому его легче реализовать, если источники являются текущими источниками. Аналогичное утверждение можно сделать и в отношении анализа сетки: анализ сетки включает суммирование напряжений, и его легче реализовать, если все источники являются источниками напряжения. Необходимость иметь только источники тока может показаться недостатком для применения узлового анализа, но в главе 11 мы видим, что легко преобразовать источники напряжения в эквивалентные источники тока и наоборот, так что это требование на самом деле не является препятствием.В этой главе в примерах узлового анализа используются источники тока, поскольку этот метод можно одинаково хорошо применить к источникам напряжения после простого преобразования.

Анализ цепей с использованием узлового анализа следует той же 5-шаговой процедуре, что и при анализе сетки. Фактически, шаги 4 и 5 одинаковы. Шаг 1 также может быть таким же, но часто элементы преобразуются в 1/ Z, а не просто в Z . Обратный импеданс, Y = 1 / Z , называется проводимостью .На шаге 2 назначаются узловые напряжения, а не токи сетки, а на шаге 3 уравнения генерируются с использованием KCL.

Уравнения, разработанные на основе KCL, обладают своего рода обратной симметрией по сравнению с уравнениями анализа сеток. При анализе сетки мы записываем матричные уравнения вида:

(10,15) v = Zi

, где v — вектор напряжения, i — вектор тока, а Z — матрица импеданса. (Уравнение 10.12 и 10.13). В узловом анализе мы записываем матричные уравнения в виде:

(10.16) i = Yv

, где Y является матрицей, называемой матрицей проводимости , содержащей обратных импедансов . Члены v и i являются векторами, как в уравнении 10.15.

Пример 10.8

Найдите напряжение В A в цепи на рисунке 10.19.

Решение: Для этой схемы требуются два уравнения сетки (после преобразования источника тока в эквивалентный источник напряжения, как описано в главе 11), но только одно узловое уравнение.Кроме того, он удобно содержит источник тока, что еще больше упрощает узловой анализ. Четыре тока, текущие в или из одного узла в верхней части схемы, обозначенной A. Ток в ветви источника тока составляет 0,1 cos (2 π 10 t ), а ток в каждом из трех других ветви равно напряжению, В A , деленному на полное сопротивление ветви; т.е. I ( ω ) = V A ( ω ) / Z Ответвление .Согласно KCL, сумма этих четырех токов будет равна нулю.

После выполнения шагов 1 и 2 сеть приобретает вид, показанный на Рисунке 10.20. Если мы определим В A ( ω ) как положительное напряжение, то ток через пассивные элементы будет течь вниз, как показано, из-за правила полярности напряжения-тока для пассивных элементов. Частота в радианах равна ω = 2 πf = 62,8 рад / сек.

Шаг 3 . Это относится к тому факту, что сумма четырех токов равна нулю.Как и при анализе сетки, необходимо следить за тем, чтобы признаки были правильными. Источник тока течет в узел А, но три других тока вытекают.

iS (ω) −iR (ω) −iC (ω) −iL (ω) = 0 (KCL) IS − VA (ω) R − VA (ω) (1 / jωC) −VA (ω) jωL = 00.1 + VA (ω) 15 + VA (ω) −j15.9 + VA (ω) j12.6 = 0

Теперь мы можем решить это единственное уравнение для V A ( ω ). Уравнение проще записать в терминах проводимости: Y = 1 / Z. Значения проводимости показаны в скобках на схеме выше.Используя адмиттансы:

IS + YRVA (ω) + YCVA (ω) + YLVA (ω) = 0IS + VA (ω) (1R + jωC + 1jωL) = 00,1 + VA (ω) (0,067 + j0,063 − j0 0,08) = 0 ВА (ω) = 0.10.067 + j0.063 − j0.08 = 0.10.067 − j0.017 ВА (ω) = 0.10.069∠ − 14 = 1,5∠14 В

Переходя к многоузловым системам, мы перейти непосредственно к ярлыку, матричному уравнению. Если мы применим KCL к схемам с несколькими узлами, мы обнаружим, что уравнения попадают в схему, аналогичную модели анализа сетки, за исключением того, что они имеют форму уравнения 10.16: i = Yv . Матрица проводимости состоит из суммированных проводимости (т. Е.е., 1/ Z ’s), которые являются общими для каждого узла по диагонали, и суммарные допуски между узлами на недиагоналях. Этот общий формат показан здесь для трехузловой схемы:

(10.17) | ΣI1ΣI2ΣI3 | = | ΣYNode1 − ΣYNode1 & 2 − ΣYNode & 3 − ΣZMesh2 & 2ΣYNode2 − ΣYNode2 & 3 − ΣY3Node1 & 3 − ΣYNode2 |

Уравнение 10.17 применяется просто и следует той же схеме, что и при анализе сетки. Пример узлового анализа двухузловой схемы приведен в Примере 10.9.

Пример 10.9

Найдите напряжение, В 2 в цепи, показанной на рисунке 10.21. Эта схема похожа на схему, показанную на рисунке 10.19, за исключением того, что был добавлен дополнительный компонент, поэтому теперь сеть имеет два узла.

Решение: примените узловой анализ к этой двухузловой цепи. Следуйте пошаговой процедуре, описанной выше, но на шаге 3 напишите матричное уравнение непосредственно, как указано в уравнении 10.9. Выполните шаг 4, чтобы найти В, , , , B, , , используя MATLAB.

Шаг 1 . Преобразуйте все элементы в векторные допуски. Отметим, что ω = 20 рад / сек.

Шаг 2 . Назначьте узловые напряжения. Это уже было сделано в схеме. Схема после модификации этими двумя шагами показана на рисунке 10.22.

Шаг 3 . Сгенерируйте матричные уравнения, следуя сокращенной (т. Е. Двухузловой) версии уравнения 10.15. Обратите внимание, что индукторы теперь имеют значения −j , а конденсаторы имеют значения + j .Также обратите внимание, что два узла имеют два общих компонента, поэтому общая проводимость будет равна сумме проводимости каждого компонента:

∑Ynode1,2 = 0,004 − j.007

Следовательно, уравнение цепи KCL принимает следующий вид:

| 0,50 | = | 0,01 + 0,004 + j0.01 − j0.007−0.004 + j0.007−0.004 + j0.0070.004 − j0.005 − j0.007 + j0.04 || V1V2 |

| 0,50 | = | 0,014 + 0,003−0,004 + j0,007−0,004 + j,0070,004 − j0,028 || V1V2 |

Шаг 4 . Это матричное уравнение можно легко решить с помощью MATLAB, как показано в приведенном ниже коде.

% Пример 10.9 Решение двухузлового матричного уравнения

%

I = [. 5; 0]; % Назначить вектор тока

Y11 = 0,01 + .004 + 1i * .01 −1i * .007; % Назначить допуски

Y12 = .004−1i * .007;

Y22 = 0,004−1i * .005−1i * .007 + 1i * .04;

Y = [Y11-Y12; −Y12 Y22]; % Матрица проводимости

V = Y \ I; % Решить для напряжений

Величина = абс (В (2))% Величина и фаза V2

Фаза = угол (В (2)) * 360 / (2 * pi)

Выход дает величину и фазу В 2 как:

Mag = 8.7628; Фаза — 149,6324

Во временной области:

v 2 ( t ) = 8,76 cos (20 t −149) вольт

Этот подход может может быть расширен до трехузловых или даже более высоких узловых схем без особых дополнительных трудностей. Задача с тремя узлами приведена в задаче 14 в конце главы. Узловой анализ одинаково хорошо применим к сетям, представленным в нотации Лапласа.Базовый 5-шаговый подход также может быть применен к анализу механических систем с сосредоточенными параметрами, как описано в следующем разделе.

Второй закон Кирхгофа — Закон о напряжении

Описание изображения

На изображении показана диаграмма, которая объясняет через электрическую цепь второй закон физика Кирхгофа, согласно которому алгебраическая сумма всех падений напряжения вокруг сетевого контура или замкнутого пути в цепи равна нулю.

Петля должна иметь как минимум две стороны и иметь замкнутую форму, как показано на рисунке, прямоугольник, через который линия проходит один раз через каждый узел.

Цикл имеет четыре узла в четырех углах горизонтального прямоугольника, представленных рельефными кругами.

Ответвления сети между электрическими компонентами выделены жирными линиями.

Эта схема имеет три резистора и батарею.

Резисторы вверху, справа и внизу, являются компонентами электрической цепи, предназначенными для уменьшения текущего напряжения между двумя точками, и выделены пустыми прямоугольниками.

Электрическая батарея в центре левой стороны контура представлена ​​особым символом, соответственно, двумя параллельными линиями, расположенными между ними, причем более длинная линия направлена ​​вверх, а более короткая — вниз, обозначенные положительным и отрицательным зарядами.

Например, если напряжение на выводах батареи 2,5 В, на выводах верхнего резистора 1,5 В, на втором резисторе справа 0,5 В и на третьем нижнем резисторе также 0,5 В, тогда уравнение пошло бы следующим образом, начиная с АКБ:

2,5 В минус 1,5 В минус 0,5 В минус 0,5 В равно нулю.

Общая информация

Густав Кирхгоф, немецкий физик, разработал два закона, связанных с сохранением электрического тока в электрических цепях.

Прежде всего, давайте резюмируем, что означает электрическая цепь: это путь, по которому электрический ток должен проходить между источником питания и устройством с электрическим приводом. Циркуляция или перемещение электрического тока между источником и потребителем достигается с помощью электрических проводников, таких как соединительные провода. Чтобы иметь более четкое представление об электрической схеме, мы опишем простую схему, состоящую из батареи, двух соединительных проводов и электродвигателя.Мы знаем, что батарея имеет две клеммы, то есть два конца, через которые ее можно подключить к источнику питания. В случае постоянного тока (DC), который присутствует в батарее, движение электронов, представленное электрическим током, всегда происходит от положительной клеммы к отрицательной. К двум концам двигателя прикреплены два соединительных провода. Если мы заставим два провода от двигателя касаться клемм аккумулятора, то будет создана электрическая цепь.Ток будет проходить через положительный конец, проходить через катушку двигателя и выходить через отрицательный конец, возвращаясь к батарее. Электрический ток, проходящий через двигатель, будет определять его работу. Сначала мы могли бы сказать, что это вечный процесс, который бесконечен, если мы не отключим электрическую цепь. Однако, поскольку часть электрического тока преобразуется во вращательное движение, поэтому он не возвращается туда, где он возник, ток от батареи будет со временем израсходован.

Чтобы понять законы Кирхгофа, мы должны знать основные элементы электрической сети. Электрическая сеть или электросеть может состоять из одного или нескольких источников энергии, а также одного или нескольких потребителей. Основные элементы:

  • сетевой узел или соединение, то есть точка, в которой по крайней мере три соединительных провода соединены друг с другом;
  • — ветвь сети, означающая область между двумя последовательными узлами;
  • сетевой контур, означающий замкнутый многоугольный путь, образованный последовательностью нескольких источников или потребителей электрического тока.

Второй закон Кирхгофа применяется к сетевым петлям. Процитируем его текст: «На пути сетевой петли алгебраическая сумма напряжений электромотора равна алгебраической сумме произведений между силой тока и общим сопротивлением на каждой ветви» или
«сумме электродвижущих сил. в петле равна сумме падений потенциала в петле »(1).

В заключение, зная текст законов Кирхгофа, мы можем заявить, что эти законы полезны при решении уравнений с одним или несколькими неизвестными или переменными, касающимися напряжения и силы электрического тока в определенных точках в электрической сети, на основе некоторых уже известные данные.

Библиография

  1. http://mihaiolteanu.me/circuiteelectrice/curent-continuu.html#conductori-dielectrici-si-
  2. https://sites.google.com/site/bazeleelectronicii/home/circuite-dc-si-teoria-circuitelor-dc/4-
  3. https://prezi.com/mex_p5glwtim/circuitul-electric-simplu/
  4. https://www.britannica.com/science/electricity/Kirchhoffs-laws-of-electric-circuits#ref307189 для (1)

Скачать изображение

https: // тактильные изображения.org / wp-content / uploads / 2020/11 / Electrica-7.png

Связанные

Как второй закон Кирхгофа связан с правилом петли

Результаты листинга Как второй закон Кирхгофа связан с правилом петли

Правила Кирхгофа Физика

2 часа назад Второе правило Кирхгофа (правило петли ) является Применение закона сохранения энергии. Правило контура выражается в терминах потенциала, V, а не потенциальной энергии, но они связаны с , поскольку PE elec = qV.Напомним, что ЭДС — это разность потенциалов источника при отсутствии тока. В замкнутом контуре

Суммирование напряжения по контуру цепи
Компонент цепи Вклад напряжения
Аккумулятор 100 В + 100 В
Резистор 500R -50В
Резистор 300R -30 В
Резистор 200R -20 В
Всего 0 В
(1)