Сформулируйте первый и второй законы кирхгофа: Первый и второй законы Кирхгофа

Содержание

Первый и второй законы Кирхгофа

В сложных электрических цепях, то есть где имеется несколько разнообразных ответвлений и несколько источников ЭДС имеет место и сложное распределение токов. Однако при известных величинах всех ЭДС и сопротивлений резистивных элементов в цепи мы можем вычистить значения этих токов и их направление в любом контуре цепи с помощью первого и второго закона Кирхгофа. Суть законов Кирхгофа я довольно кратко изложил в своем учебнике по электронике, на страницах сайта http://www.sxemotehnika.ru.

 

Пример сложной электрической цепи вы можете посмотреть на рисунке 1.

Рисунок 1. Сложная электрическая цепь.

Иногда законы Кирхгофа называют правилами Кирхгофа, особенно в старой литературе.

Итак, для начала напомню все-таки суть первого и второго закона Кирхгофа, а далее рассмотрим примеры расчета токов, напряжений в электрических цепях, с практическими примерами и ответами на вопросы, которые задавались мне в комментариях на сайте.

Первый закон Кирхгофа

Формулировка №1: Сумма всех токов, втекающих в узел, равна сумме всех токов, вытекающих из узла.

Формулировка №2: Алгебраическая сумма всех токов в узле равна нулю.

Поясню первый закон Кирхгофа на примере рисунка 2.

Рисунок 2. Узел электрической цепи.

Здесь ток I1— ток, втекающий в узел , а токи I2 и I3 — токи, вытекающие из узла. Тогда применяя формулировку №1, можно записать:

I1 = I2 + I3  (1)

Что бы подтвердить справедливость формулировки №2, перенесем токи I2 и I3 в левую часть выражения (1), тем самым получим:

I1 — I2 — I3 = 0   (2)

Знаки «минус» в выражении (2) и означают, что токи вытекают из узла.

Знаки для втекающих и вытекающих токов можно брать произвольно, однако в основном всегда втекающие токи берут со знаком «+», а вытекающие со знаком «-» (например как получилось в выражении

(2)).

Можно посмотреть отдельный видеоурок по первому закону Кирхофа в разделе ВИДЕОУРОКИ.

Второй закон Кирхгофа.

Формулировка: Алгебраическая сумма ЭДС, действующих в замкнутом контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех резистивных элементах в этом контуре.

Здесь термин «алгебраическая сумма» означает, что как величина ЭДС так и величина падения напряжения на элементах может быть как со знаком «+» так и со знаком «-». При этом определить знак можно по следующему алгоритму:

1. Выбираем направление обхода контура (два варианта либо по часовой, либо против).

2. Произвольно выбираем направление токов через элементы цепи.

3. Расставляем знаки для ЭДС и напряжений, падающих на элементах по правилам:

— ЭДС, создающие ток в контуре, направление которого совпадает с направление обхода контура записываются со знаком «+», в противном случае ЭДС записываются со знаком «-».

— напряжения, падающие на элементах цепи записываются со знаком «+», если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, в противном случае напряжения записываются со знаком «-».

Например, рассмотрим цепь, представленную на рисунке 3, и запишем выражение согласно второму закону Кирхгофа, обходя контур по часовой стрелке, и выбрав направление токов через резисторы, как показано на рисунке.

Рисунок 3. Электрическая цепь, для пояснения второго закона Кирхгофа.

E1— Е2 = -UR1 — UR2 или E1 = Е2 — UR1 — UR2   (3)

Предлагаю посмотреть отдельный видеоурок по второму закону Кирхогфа (теория).

Расчеты электрических цепей с помощью законов Кирхгофа.

Теперь давайте рассмотрим вариант сложной цепи, и я вам расскажу, как на практике применять законы Кирхгофа.

Итак, на рисунке 4 имеется сложная цепь с двумя источниками ЭДС величиной E1=12 в и E2=5 в , с внутренним сопротивлением источников r1=r2=0,1 Ом, работающих на общую нагрузку R = 2 Ома. Как же будут распределены токи в этой цепи, и какие они имеют значения, нам предстоит выяснить.

Рисунок 4. Пример расчета сложной электрической цепи.

Теперь согласно первому закону Кирхгофа для узла А составляем такое выражение:

I = I1 + I2,

так как I1 и I2 втекают в узел А, а ток I вытекает из него.

Используя второй закон Кирхгофа, запишем еще два выражения для внешнего контура и внутреннего левого контура, выбрав направление обхода по часовой стрелке.

Для внешнего контура:

E1-E2 = Ur1 – Ur2 или E1-E2 = I1*r1 – I2*r2

Для внутреннего левого контура:

E1 = Ur1 + UR или E1 = I1*r1 + I*R

Итак, у нас получилась система их трех уравнений с тремя неизвестными:

I = I1 + I2;

E1-E2 = I1*r1 – I2*r2;

E1 = I1*r1 + I*R.

Теперь подставим в эту систему известные нам величины напряжений и сопротивлений:

I = I1 + I2;

7 = 0,1I1 – 0,1I2;

12 = 0,1I1 +2I.

Далее из первого и второго уравнения выразим ток I2

I2=I — I1;

I2 = I1 – 70;

12 = 0,1I1 + 2I.

Следующим шагом приравняем первое и второе уравнение и получим систему из двух уравнений:

I — I1= I1 – 70;

12 = 0,1I1 + 2I.

Выражаем из первого уравнения значение I

I = 2I1– 70;

И подставляем его значение во второе уравнение

12 = 0,1I1 + 2(2I1 – 70).

Решаем полученное уравнение

12 = 0,1I1 + 4I1 – 140.

12 + 140= 4,1I1

I1=152/4,1

I1=37,073 (А)

Теперь в выражение I = 2I1– 70 подставим значение

I1=37,073 (А) и получим:

I = 2*37,073 – 70 = 4,146 А

Ну, а согласно первому закона Кирхгофа ток I2=I — I1

I2=4,146 — 37,073 = -32,927

Знак «минус» для тока I2 означает, то что мы не правильно выбрали направление тока, то есть в нашем случае ток I2 вытекает из узла А.

Теперь полученные данные можно проверить на практике или смоделировать данную схему например в программе Multisim.

Скриншот моделирования схемы для проверки законов Кирхгофа вы можете посмотреть на рисунке 5.

 Рисунок 5. Сравнение результатов расчета и моделирования работы цепи.

Для закрепления результатата предлагаю посмотреть подготовленное мной видео:

Первый закон Кирхгофа — Основы электроники

В сложных схемах типа моста и Т-образных схемах токи можно определить с помощью первого закона Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа или закон токов Кирхгофа гласит: сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из узла. Так как токи, которые вытекают из узла берутся с отрицательным знаком, то существует другая формулировка первого закона Кирхгофа:

алгебраическая сумма токов в узле равна нулю.

Рассмотрим схему на рисунке 1.

Здесь ток I1— полный ток, притекающий к узлу А, а токи I2 и I3 — токи, вытекающие из узла А. Следовательно, можно записать:

I1 = I2 + I3

Аналогично для узла B

I3 = I4 + I5

Предположим, что I4 = 2 мА и I5 = 3 мА, получим

I3 = 2 + 3 = 5 мА

Приняв I2 = 1 мА, получим

I1 = I2 + I3 = 1+5 = 6 мА

Далее можно записать для узла C

I6 = I4 + I5 = 2+3 = 5 мА

и для узла D

I1 = I2 + I6 = 1+5 = 6 мА

ДРУГИЕ СТАТЬИ ПО ТЕМЕ:

Первый и второй законы Кирхгофа — статья в интернет-журнале ЭЛЕКТРОН, где подробно с примерами расчетов и моделирования на компьютере изложены эти основопологающие законы элеектротехники и в частности первый закон Кирхгофа

Видеоурок по расчету цепей с помощью первого и второго закона Кирхгофа.

 

Предлагаю посмотреть это видео для закрепления материала:

ПОНРАВИЛАСЬ СТАТЬЯ? ПОДЕЛИСЬ С ДРУЗЬЯМИ В СОЦИАЛЬНЫХ СЕТЯХ!

Похожие материалы:

 

Добавить комментарий

Второй закон Кирхгофа

Законы Кирхгофа являются важной частью электротехники, их можно использовать для теоретических расчетов и с практической пользой в случае электрических цепях разветвленного и произвольного типа. Первый закон и второй закон Кирхгофа пользуются особым спросом благодаря своего универсального применения и возможности решить различного рода задач. Они работают, так как для линейных цепей, так и для нелинейных, где ток может быть переменным или постоянным. В некоторых источниках законы Киргофа принято называть правилами, так как выводы были сделаны на основе длительного наблюдения за определенными процессами.

До того как понять, что собой представляет второй закон Кирхгофа стоит вспомнить, что именно гласит первый закон, так как между ними определенно должна быть какая-то связь, учитывая, в том числе последовательность их появления. Несмотря на то какая формулировка,

первый закон Кирхгофа гласит одну истину:

Первая формулировка : Сумма всех токов, которые сводятся в один узел, равна нулю.

Вторая формулировка: Сумма тех токов, которые являются втекающими и вытекающими из единого узла представляет собой одно и то же значение, то есть эти два значения равны.

Речь именно об алгебраической сумме этих токов. Данный закон появился как производное от закона сохранения заряда. Другими словами первый закон указывает на непрерывность тока. Первый закон может быть сформулирован по-разному, но вне зависимости от этого он будет означать то же самое понятие. Если первый закон гласит, что сумма всех токов входящие в один узел равна сумме всех токов выходящих из этого узла, то не составит труда сформулировать на основе этого и второе неопровержимое правило Кирхгофа.

Понимание правил Кирхгофа можно упростить, если удостовериться, что такие простые понятия как ветвь, узел, контур и электрическая цепь являются понятными и доступными. Разъяснение можно начать с самого простого понятия – ветвь, что представляет собой некую часть электрической цепи с одинаковым током по всей длине. Узел более сложное понятие, так как он может состоять из определенного количества ветвей, которые объединены в одной точке. Понятие контур уже некий замкнутый электрический путь, который может состоять из разного количества ветвей и узлов. Путь обязательно закрытый и подразумевает возврат в исходную точку после прохождения всех элементов электрической цепи. Несколько контуров могут существовать бок о бок и делить между собой свои элементы, так как ветви и узлы. Все эти значения обозначают второй закон Кирхгофа.

Второй закон Кирхгофа и его определение

В едином замкнутом контуре алгебраическая сумма ЭДС будет равняться на значение, которое суммирует изменения напряжения на всеобщее количество резистивных элементов данного контура.

Второе правило Кирхгофа актуально в сетях с постоянным и/или переменным током. В формулировке закона используется именно понятие алгебраическая сумма, так как она может быть указана со знаком плюс или минус. Точное определение возможно в таком случае только посредством простого, но эффективного алгоритма. Для начала надо подобрать какое-то направление для обхода контура, по/против часовой стрелке, на собственное усмотрение. Само направление тока подбирается только через элементы цепи. После следует определить знаки «+» и «-» для напряжениях и ЭДС. Напряжения нужно записывать с отрицательным знаком, когда ток не соответствует обходу контура в плане направления и с плюсом в случае совпадения. То же самое правило нужно использовать и в том случае, когда необходимо отметить ЭДС.

Второй закон Кирхгофа — практическое применение

На практике второй закон Кирхгофа применяется успешно для расчета электрических цепей. Благодаря его разъяснению можно рассчитать необходимые параметры в сложных электрических цепях. Когда присутствует необходимость рассчитать значение тока и/или направление всегда выручит второй закон Кирхгофа. Невзирая на то, что правила Кирхгофа были сформулированы в далеком 1845 году, они показали себя как рабочие и не вызывают вопросы ни у кого. Теория электрических цепей была бы неполной без наличия этих законов, которые так хорошо подходят для решения различных уравнений в этой области.


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Законы Кирхгофа и их применение

Для расчета разветвленной сложной электрической цепи существенное значение имеет число ветвей и узлов.
Ветвью электрической цепи и ее схемы называется участок, состоящий только из последовательно включенных источников ЭДС и приемников с одним и тем же током. Узлом цепи и схемы называется место или точка соединения трех и более ветвей (узлом иногда называют и точку соединения двух ветвей).
При обходе по соединенным в узлах ветвям можно получить замкнутый контур электрической цепи; каждый контур представляет собой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, при этом каждый узел в рассматриваемом контуре встречается не более одного раза.

На рис. 1.13 в качестве примера показана схема электрической цепи с пятью узлами и девятью ветвями. В частных случаях встречаются ветви только с резистивными элементами без источников ЭДС (ветвь 1 — у) и с сопротивлениями, практически равными нулю (ветвь 2 — р). Так как напряжение между выводами ветви 2 — р равно нулю (сопротивление равно нулю), то потенциалы точек 2 и р одинаковы и оба узла можно объединить в один.
Режим электрической цепи произвольной конфигурации полностью определяется первым и вторым законами Кирхгофа.
Первый закон Кирхгофа применяется к узлам и формулируется следующим образом: алгебраическая сумма токов в узле равна пулю:

В этом уравнении одинаковые знаки должны быть взяты для токов, имеющих одинаковые положительные направления относительно узловой точки. В дальнейшем будем в уравнениях, составленных по первому закону Кирхгофа, записывать токи, направленные к узлу, с отрицательными знаками, а направленные от узла, — с положительными.
Если к данному узлу присоединен источник тока, то ток этого источника также должен быть учтен. В дальнейшем будет показано, что в ряде случаев целесообразно писать в одной части равенства (1.19а) алгебраическую сумму токов в ветвях, а в другой части алгебраическую сумму токов, обусловленных источниками токов:

где I — ток одной из ветвей, присоединенной к рассматриваемому узлу, a J — ток одного из источников тока, присоединенного к тому же самому узлу; этот ток входит в (1.196) с положительным знаком, если направлен к узлу, и с отрицательным, если направлен от узла.
Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех элементах и участках цепи, входящих в этот контур, равна нулю:

при этом положительные направления для напряжений на элементах и участках выбираются произвольно; в уравнении (1.20а) положительные знаки принимаются для тех напряжений, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура.

Часто применяется другая формулировка второго закона Кирхгофа: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках с сопротивлениями, входящими в этот контур, равна алгебраической сумме ЭДС:

В этом уравнении положительные знаки принимаются для токов и ЭДС, положительные направления которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура.
В теории электрических цепей решаются задачи двух типов. К первому типу относятся задачи анализа электрических цепей, когда, например, известны конфигурация и элементы цепи, а требуется определить токи, напряжения и мощности тех или иных участков. Ко второму типу относятся обратные задачи, в которых, например, заданы токи и напряжения на некоторых участках, а требуется найти конфигурацию цепи и выбрать ее элементы. Такие задачи называются задачами синтеза электрических цепей. Отметим, что решение задач анализа намного проще решения задач синтеза.
В практической электротехнике довольно часто встречаются задачи анализа. Кроме того, для овладения приемами синтеза цепей необходимо предварительно изучить методы их анализа, которые преимущественно и будут в дальнейшем рассматриваться.
Задачи анализа могут быть решены при помощи законов Кирхгофа. Если известны параметры всех элементов цепи и ее конфигурация, а требуется определить токи, то при составлении уравнений по законам Кирхгофа рекомендуется придерживаться такой последовательности: сначала выбрать произвольные положительные направления токов во всех ветвях электрической цепи, затем составить уравнения для узлов на основании первого закона Кирхгофа и, наконец, составить уравнения для контуров на основании второго закона Кирхгофа.
Пусть электрическая цепь содержит В ветвей и У узлов. Покажем, что на основании первого и второго законов Кирхгофа можно составить соответственно У — 1 и В — У + 1 взаимно независимых уравнений, что в сумме дает необходимое и достаточное число уравнений для определения В токов (во всех ветвях).
На основании первого закона Кирхгофа для У узлов (рис. 1.13) можно написать У уравнений:

Так как любая ветвь связывает между собой только два узла, то ток каждой ветви должен обязательно войти в эти уравнения 2 раза, причем I12=-I21; I13=-I31 и т.д.
Следовательно, сумма левых частей всех У уравнений дает тождественно нуль. Иначе говоря, одно из У уравнений может быть получено как следствие остальных У — 1 уравнений или число взаимно независимых уравнений, составленных на основании первого закона Кирхгофа, равно У — 1, т. е. на единицу меньше числа узлов. Например, в случае цепи по рис. 1.14,о с четырьмя узлами

Добавим к этим У — 1 = 3 уравнениям уравнение

Суммируя четыре уравнения, получаем тождество 0 = 0; следовательно, из этих четырех уравнений любые три независимые, например первые три (1.21а).
Так как беспредельное накопление электрических зарядов не может происходить как в отдельных узлах электрической цепи, так и в любых ее частях, ограниченных замкнутыми поверхностями, то первый закон Кирхгофа можно применить не только к какому-либо узлу, но и к любой замкнутой поверхности — сечению.

Первый и второй законы Кирхгофа

Автор Alexey На чтение 4 мин. Просмотров 1.2k. Опубликовано Обновлено

Немецкий ученый Густав Кирхгоф – один из величайших физиков всех времен, написавший целую кучу работ по электричеству.

Эти работы получили признание среди передовых ученых девятнадцатого века и стали основой для работ множества других ученых, а также дальнейшего развития науки и техники. Он был человеком который посвятил всю свою жизнь науке и несомненно сделал наш мир чуточку лучше.

В теории, законы Ома устанавливают взаимосвязь между силой, напряжением и сопротивлению тока для простых замкнутых одноконтурных цепей.

Но на практике чаще всего используются гораздо более сложные, разветвленные цепи, в систему которых может входить несколько контуров и узлов, в которые сходятся проходящие по другим ответвлениям электротоки и их невозможно описать по стандартным правилам для расчета комбинаций параллельных и последовательных цепей. Правило Кирхгофа делает возможным определение силы и напряжения тока в таких цепях.

Общие понятия и описание первого закона Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа показывает связь токов и узлов электрической цепи. Формула связи очень проста. Это правило гласит, что сумма токов всех ветвей, которые сходятся в один узел электроцепи, равняется нулю (речь идёт об алгебраических значениях).

При этом накопление электрических зарядов в одной точке замкнутой электроцепи невозможно.
При суммировании токов принято брать положительный знак, если электроток идёт по направлению к узлу, и отрицательный знак, если ток идёт в противоположную от узла сторону. Для описания понятной аналогии для этого случая, уместны сравнения с течениями воды в соединенных между собой трубопроводах.

Пример вышеописанной формулы первого закона:

Общие понятия и описание второго закона Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа описывает алгебраическую зависимость между электродинамической силой и напряжением в замкнутой электроцепи. В любом замкнутом контуре сумма электродинамической силы равна сумме падания напряжения на сопротивлениях, относящихся к данному контуру.

Для написания формул, определяющих второй закон Кирхгофа, берут положительное значение электродинамической силы и падение напряжений, если направление на относящихся к ним отрезках контура совпадает с произвольным направлением обхода контура. А если же направление электродинамической силы и токов противоположны выбранному направлению, то эти электродинамические силы и падение напряжений берут отрицательными:

Алгоритм определения знака величины электродинамической силы и падения напряжений:

  1. Выбираем направление обхода контурных цепей. Тут возможны несколько вариантов: либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки.
  2. Произвольным образом выбираем направление движения токов протекающих через элементы контурных цепей.
  3. И наконец, расставляем знаки для электродинамической силы и падения напряжений (не забывая о совпадении или несовпадении направления электродинамической силы с направлением движения обхода контура)

Пример вышеописанной формулы второго закона :

Области применения

Закономерности Кирхгофа применяются на практике для сложных контурных цепей, для выяснения распределений и значений токов в этих электроцепях.

С помощью уравнений, положенных в основу этих закономерностей моделируется система контурных напряжений и токов, после решения которой можно сказать какое направление электротока необходимо выбрать. Первое и Второе правило Кирхгофа получили огромное применение при построении параллельных и последовательных контурных цепей.

При последовательном строении электроцепи (в качестве примера отлично подойдёт новогодняя ёлочная гирлянда) сопротивление на каждом последующем элементе падает согласно закону Ома.

При параллельном строении напряжение равно подаётся на все элементы электроцепи, и для определения значений токов в любом месте электроцепи используется второй закон Кирхгофа. Также часто эти правила сочетаются с другими приёмами, такими как принцип суперпозиции и метод эквивалентного электрогенератора и составления потенциальной диаграммы.

Интересные факты:

  • Существует множество заблуждений о третьем, четвертом и т.д. правилах Кирхгофа. Густав Кирхгофф был всесторонне развитым человеком, который изучал множество наук;
  • Он сделал несколько открытий в области теоретической механики для абсолютно упругих тел, в области химии, физики, термодинамике. Именно к этим открытиям относятся эти законы, а с электродинамикой и контурными электрическими цепями не имеют ничего общего;
  • В его честь назван один из кратеров на Луне;
  • Еще один величайший изобретатель Джеймс Максвелл основывал свои идеи именно на этих двух главных закономерностях электродинамики.

Первый закон Кирхгофа: определение, формулы, физический смысл

Первый закон Кирхгофа основан на принципе непрерывности и применим к узлу электроцепи.

Первый закон Кирхгофа определяет взаимосвязь между суммой токов, сходящихся в одном узле, и формулируется следующим образом:

Алгебраическая сумма величин токов Ik, сходящихся в любой точке (узле) электроцепи, равна нулю в любой момент времени

∑ Ik = 0,

при этом k — количество ветвей, сходящихся в узле цепи;

Ik – мгновенная величина тока для k-й ветви.

Физически Первый закона Кирхгофа означает: движение электрических зарядов осуществляется таким образом, что ни в одном из участков цепи он не имеет тенденцию к накоплению.

Отсюда, вытекает еще одна формулировка закона: в любом узле электроцепи сумма токов направленных к узлу оказывается равной сумме токов, направленных от этого узла, или:

∑ Ik = ∑ Im,

при этом k — количество ветвей, втекающих в узел;

m- — количество ветвей, вытекающих из узла.

Узлом электрической цепи принято называть точку подключения 3-х и более ветвей. ток принимается со знаком «+», если он втекает в узел, и со знаком «-», если вытекает.

К примеру, рассмотрим баланс токов на примере схемы:

I1 + I2 + I3 – I4 – I5 = 0, либо

I1 + I2 + I3 = I4 + I5.

Очевидным фактом, является то, что формулировка формы записи может иметь различный характер. Существенным является лишь принимаемая договоренность о знаке токов: нельзя использовать разнонаправленное направление в пределах одной электрической цепи для одного или нескольких узлов.

Направление тока для каждой цепи определяют произвольно. При этом нет необходимости стремиться, чтобы для всех узлов использовались токи различных направлений. Также может иметь место ситуация, что в каком-то узле все токи будут направлены от узла или к нему, что тем самым нарушает принцип непрерывности. Но в такой ситуации в процессе определения значений токов один или несколько будут отрицательными, что будет служить признаком об их протекании в противоположном направлении от принятого.

При расчете разветвленных электроцепей используются второй закон Кирхгофа. Они были сформулированы в 1945г. великим физиком 19 в. Густавом Робертом Кирхгофом.

Законы Кирхгофа — подробное и понятное объяснение на примерах | Pro Физику

Для расчета электрической цепи применяют два закона Кирхгофа. (Скорее их можно отнести не к законам, а к правилам. Но в большинстве учебников пишут именно о “законах” Кирхгофа. Поэтому и здесь будем обращаться к законам).

Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа применяют к узлам электрической цепи и выражают баланс токов в них. Первый закон Кирхгофа гласит:

Алгебраическая сумма токов сходящихся в узле электрической цепи равна 0.

Под словом “алгебраическая” имеется в виду, что учитывается знак перед током: “плюс” или “минус”.

В общем виде первый закон Кирхгофа можно записать как:

Рисунок 1 — Первый закон Кирхгофа

Рисунок 1 — Первый закон Кирхгофа

Для примера возьмем узел, в котором протекают токи, указанные стрелками (далее рассмотрим это все на конкретных схемах).

Рисунок 2 — Узел электрической цепи, в котором сходятся 4 ветви

Рисунок 2 — Узел электрической цепи, в котором сходятся 4 ветви

Токи, втекающие и вытекающие из узла, берутся с противоположными знаками. Втекающие в узел токи берутся со знаком, например, “+”, а вытекающие с “-“ (можно вытекающие брать с “+”, а втекающие с “-“). Главное, чтобы втекающие и вытекающие токи отличались по знаку.

Будем считать токи положительными, если они втекают в узел, а вытекающие из узла – отрицательными. Тогда первый закон Кирхгофа для узла, представленного на рисунке 2, запишется:

I1-I2+I3+I4=0

Это выражение можно записать и в следующем виде:

I2=I1+I3+I4;

Ток I2 мы перенесли за знак равенства, его знак поменялся на противоположный (был с “минусом”, стал с “плюсом”).

Остальные токи мы не переносим, поэтому их знаки не меняются.

Согласно последнему выражению, первый закон Кирхгофа можно сформулировать по-другому:

Сумма токов, втекающих (подходящих) в узел, равна сумме токов, вытекающих (отходящих) из узла.

Все это говорит о том, что в узле эти токи не остаются и заряд в узле не накапливается.

Для более полного понимания, представим электрическую цепь (схему электрической цепи), для которой запишем первый закон Кирхгофа.

Рисунок 3 — Электрическая схема цепи для записи первого закона Кирхгофа

Рисунок 3 — Электрическая схема цепи для записи первого закона Кирхгофа

Запишем для этой цепи первый закон Кирхгофа для узла “a” (о том, как определить количество уравнений по первому и второму законам Кирхгофа, рассмотрим в конце ).

I1+I2-I3=0 или I3=I1+I2.

Второй закон Кирхгофа

Этот закон применяется к контурам электрической цепи и выражает баланс напряжений в них. Второй закон Кирхгофа звучит так:

Алгебраическая сумма ЭДС в замкнутом контуре (с учетом направления обхода контура) равна алгебраической (учитывается знак “+” или “-“) сумме падений напряжений на всех сопротивлениях (элементах) этого контура.

Для того, чтобы правильно составить уравнения по второму закону Кирхгофа, нужно пользоваться следующим правилом:

ЭДС берется со знаком “+”, если ее действие совпадает с направлением обхода контура. Напряжение на элементе контура берется со знаком “+”, если направление тока через данный элемент совпадает с направлением обхода контура. Если не совпадает направление обхода контура с направлением тока через элемент, то напряжение этого элемента берется со знаком “-“.

Запишем второй закон Кирхгофа для цепи, представленной ниже:

Рисунок 4 — Электрическая схема цепи для записи второго закона Кирхгофа(1 пример)

Рисунок 4 — Электрическая схема цепи для записи второго закона Кирхгофа(1 пример)

Выбираем направление обхода контура по часовой стрелке. В данном случае направление тока и направление обхода контура совпадают, поэтому I·R1 и I·R2 взяли со знаком “+”. А также совпадает направление обхода контура и действие ЭДС, поэтому ЭДС также записали со знаком “+”.

Возьмем еще один пример.

Рисунок 5 — Электрическая схема цепи для записи второго закона Кирхгофа(2 пример)

Рисунок 5 — Электрическая схема цепи для записи второго закона Кирхгофа(2 пример)

Запишем для этой цепи второй закон Кирхгофа. Обход выбираем по часовой стрелке (указали обход контура на схеме круговой стрелкой внутри контура). Как видим, направление обхода контура и направление тока I1 совпадают, а ток I2 направлен напротив обхода контура.

Следовательно, падение напряжения на резисторе R1 запишется со знаком “+”, т. е. +I1·R1. А падение напряжения на R2 запишется со знаком “-“, т. е. –I2·R2.

Направление действия ЭДС совпадает с обходом контура, поэтому ЭДС E берем со знаком “+”.

Запишем второй закон Кирхгофа для этой цепи:

I1·R1-I2·R2=E

Ну и напоследок рассмотрим сложную электрическую цепь, состоящую из нескольких источников и резисторов.

Рисунок 6 — Схема сложной электрической цепи

Рисунок 6 — Схема сложной электрической цепи

Введем произвольно направление токов в ветвях, а также укажем на схеме в виде круговых стрелок направление обхода контуров.

Рисунок 7 — Схема сложной электрической цепи с введенными токами, наименованиями узлов и направлением обхода контура

Рисунок 7 — Схема сложной электрической цепи с введенными токами, наименованиями узлов и направлением обхода контура

Токи в ветвях направили произвольно, обход контура выбрали по часовой стрелке, а также узлы в этой схеме обозначили буквами a и b. Для того, чтобы понять, как и сколько уравнений по первому и второму законам Кирхгофа нужно составить для данной цепи, необходимо посчитать количество ветвей, узлов и независимых контуров.

Подробно вышесказанные понятия электрической цепи мы рассмотрим в следующих статьях. А пока вкратце.

Узел – это место соединения трех и более ветвей в электрической цепи (в данном случае таких узлов два. Это узлы «a» и «b».

Ветвь – это участок электрической цепи, который образуется одним или несколькими последовательно соединенными элементами и через все эти элементы протекает один и тот же ток.

Рисунок 8 — Ветви электрических цепей

Рисунок 8 — Ветви электрических цепей

Контур – это любой замкнутый путь электрической цепи, проходящий по двум или нескольким ветвям.

Рисунок 9 — Схема электрической цепи с введенными обходами контуров

Рисунок 9 — Схема электрической цепи с введенными обходами контуров

Так же есть такое понятие как независимый контур.

Независимый контур должен включать в себя хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры.

На рисунке 9 будет три контура, два из которых независимые. Если контур 1 независимый, контур 2 независимый(таким образом все три ветви этой схемы цепи вошли в эти независимые контуры). Тогда контур 3 уже независимым не будет, поскольку все ветви “заняты” остальными двумя контурами.

Или если контур 1 независимый (он включает в себя ветви с элементами E и R1). Контур 3 независимый (он включает в себя ветви с элементом E и ветвь с элементом R3. Элемент R3 ранее не входил в первый независимый контур), поэтому контур 3 считается независимым.

Получается, что все ветви “заняты”. Тогда контур 2 независимым уже не будет, поскольку в него не входят ветви или ветвь ранее не входящую в другие контура. Все ветви вошли в ранее независимые контуры 1 и 3.

В цепи на рисунке 9, в общем случае, три ветви, два узла и два независимых контура. Общее количество уравнений по законам(правилам) Кирхгофа составляется столько, сколько ветвей в схеме цепи за вычетом количества ветвей, где есть источник тока (именно источник тока, а не ЭДС). В нашей схеме нет источников тока, следовательно, составляются три уравнения по законам Кирхгофа. Теперь осталось определить, сколько уравнений нужно составить по первому и второму законам Кирхгофа. Общее количество уравнений будет три. Формула для определения количества уравнений по первому закону Кирхгофа следующая:

N1з.к.=Ny-1, где Ny – количество узлов.

Ny=2, тогда

N1.з.к.=Ny-1=2-1=1

Т. е. по первому закону Кирхгофа составляется одно уравнение для данной цепи, а общее количество уравнений – три. Таким образом, мы получаем, что по второму закону Кирхгофа нужно составить два уравнения. Или для определения количества уравнений по второму закону Кирхгофа есть формула:

N2.з.к.=Nв-(Ny-1), где Nв – количество ветвей

Nв=3, тогда:

N2.з.к.=3-(2-1)=2

По второму закону Кирхгофа составляется два уравнения. Составим систему, состоящую из трех уравнений. Одно уравнение по первому закону Кирхгофа (это уравнение составляется для любого узла a или b) и двух уравнений по второму закону Кирхгофа для двух любых независимых контуров, например, составим для контуров 1 и 2.

Рисунок 10 — Система уравнений для схемы цепи, изображенной на рисунке 9

Рисунок 10 — Система уравнений для схемы цепи, изображенной на рисунке 9

Неизвестными в данной системе являются токи I1, I2 и I3. Решая данную систему, находят эти неизвестные.

О том, как решаются задачи с более сложными цепями, мы поговорим в следующих статьях.

Если понравилась статья, подписывайтесь на канал и не пропускайте новые публикации.

Читайте также:

1. Как электроэнергия передается от электростанций до наших домов;
2. Что такое электрический ток — простыми словами;

правил Кирхгофа | Безграничная физика

Введение и значение

Законы цепи Кирхгофа — это два уравнения, которые касаются сохранения энергии и заряда в контексте электрических цепей.

Цели обучения

Опишите взаимосвязь между законами цепи Кирхгофа и энергией и зарядом в электрических цепях.

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Кирхгоф использовал работу Георга Ома в качестве основы для создания закона Кирхгофа (KCL) и закона напряжения Кирхгофа (KVL) в 1845 году.Их можно вывести из уравнений Максвелла, появившихся 16-17 лет спустя.
  • Невозможно проанализировать некоторые схемы с обратной связью путем упрощения в виде суммы и / или ряда компонентов. В этих случаях можно использовать законы Кирхгофа.
  • Законы Кирхгофа — частные случаи сохранения энергии и заряда.
Ключевые термины
  • резистор : Электрический компонент, который передает ток прямо пропорционально напряжению на нем.
  • электродвижущая сила : (ЭДС) — напряжение, генерируемое батареей или магнитной силой в соответствии с законом Фарадея.Она измеряется в вольтах (не в ньютонах, Н; ЭДС — это не сила).
  • конденсатор : Электронный компонент, состоящий из двух проводящих пластин, разделенных пустым пространством (иногда вместо этого между пластинами помещается диэлектрический материал), и способный хранить определенное количество заряда.

Введение в законы Кирхгофа

Законы цепи Кирхгофа — это два уравнения, впервые опубликованные Густавом Кирхгофом в 1845 году. По сути, они касаются сохранения энергии и заряда в контексте электрических цепей.

Хотя законы Кирхгофа можно вывести из уравнений Джеймса Клерка Максвелла, Максвелл не публиковал свою систему дифференциальных уравнений (которые составляют основу классической электродинамики, оптики и электрических цепей) до 1861 и 1862 годов. Кирхгоф, скорее, использовал Георга. Работа Ома как основа для текущего закона Кирхгофа (KCL) и закона напряжения Кирхгофа (KVL) .

Законы Кирхгофа чрезвычайно важны для анализа замкнутых цепей.Рассмотрим, например, схему, показанную на рисунке ниже, состоящую из пяти резисторов, соединенных последовательно и параллельно. Упрощение этой схемы до комбинации последовательного и параллельного включения невозможно. Однако, используя правила Кирхгофа, можно проанализировать схему, чтобы определить параметры этой схемы, используя номиналы резисторов (R 1 , R 2 , R 3 , r 1 и r 2 ). . Также важно в этом примере то, что значения E 1 и E 2 представляют источники напряжения (например.г., батарейки).

Замкнутая цепь : Чтобы определить все переменные (т. Е. Падение тока и напряжения на различных резисторах) в этой цепи, необходимо применить правила Кирхгофа.

В заключение, законы Кирхгофа зависят от определенных условий. Закон напряжения является упрощением закона индукции Фарадея и основан на предположении, что внутри замкнутого контура нет флуктуирующего магнитного поля. Таким образом, хотя этот закон может быть применен к схемам, содержащим резисторы и конденсаторы (а также другие элементы схемы), он может использоваться только как приближение к поведению схемы при изменении тока и, следовательно, магнитного поля.

Правило пересечения

Правило соединений Кирхгофа гласит, что в любом соединении цепи сумма токов, протекающих в этом соединении и выходящих из него, одинакова.

Цели обучения

Сформулируйте правило пересечения Кирхгофа и опишите его ограничения

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Правило соединения Кирхгофа — это применение принципа сохранения электрического заряда: ток — это поток заряда за время, и если ток постоянный, то, что течет в точку в цепи, должно равняться тому, что вытекает из нее.{\ text {n}} \ text {I} _ \ text {k} = 0 [/ latex], где I k — ток k, а n — общее количество проводов, входящих и выходящих из соединения. с учетом.
  • Закон перехода Кирхгофа ограничен в его применимости в регионах, в которых плотность заряда может быть непостоянной. Поскольку заряд сохраняется, это возможно только при наличии потока заряда через границу области. Этот поток был бы током, нарушая закон.
Ключевые термины
  • электрический заряд : квантовое число, определяющее электромагнитные взаимодействия некоторых субатомных частиц; по соглашению, электрон имеет электрический заряд -1, а протон +1, а кварки имеют дробный заряд.
  • ток : временная скорость протекания электрического заряда.

Правило соединения Кирхгофа, также известное как текущий закон Кирхгофа (KCL), первый закон Кирхгофа, правило точки Кирхгофа и узловое правило Кирхгофа, является применением принципа сохранения электрического заряда.

Правило соединений Кирхгофа гласит, что в любом соединении (узле) в электрической цепи сумма токов, протекающих в этом соединении, равна сумме токов, вытекающих из этого соединения.Другими словами, учитывая, что ток будет положительным или отрицательным в зависимости от того, течет ли он к стыку или от него, алгебраическая сумма токов в сети проводников, встречающихся в одной точке, равна нулю. Визуальное представление можно увидеть на.

Закон соединений Кирхгофа : Закон соединений Кирхгофа, проиллюстрированный как токи, текущие в соединение и выходящие из него.

Теория правил Кирхгофа петли и соединений : Мы оправдываем правила Кирхгофа, исходя из сохранения энергии.{\ text {n}} \ text {I} _ \ text {k} = 0 [/ latex]

, где n — общее количество ветвей, по которым ток идет к узлу или от него.

Этот закон основан на сохранении заряда (измеряется в кулонах), который является произведением силы тока (в амперах) и времени (в секундах).

Ограничение

Применимость закона Кирхгофа ограничена. Это справедливо для всех случаев, когда полный электрический заряд (Q) постоянен в рассматриваемой области. На практике это всегда так, если закон применяется к определенной точке.Однако в определенной области плотность заряда может быть непостоянной. Поскольку заряд сохраняется, это возможно только при наличии потока заряда через границу области. Этот поток был бы током, что нарушало бы закон Кирхгофа.

Правило цикла

Правило петли Кирхгофа гласит, что сумма значений ЭДС в любом замкнутом контуре равна сумме падений потенциала в этом контуре.

Цели обучения

Сформулируйте правило петли Кирхгофа, учитывая его допущения.

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Правило петли Кирхгофа — это правило, относящееся к схемам, основанное на принципе сохранения энергии.\ text {n} \ text {V} _ \ text {k} = 0 [/ latex].
  • Правило петли Кирхгофа является упрощением закона индукции Фарадея и выполняется при предположении, что нет флуктуирующего магнитного поля, связывающего замкнутый контур.
Ключевые термины
  • электродвижущая сила : (ЭДС) — напряжение, генерируемое батареей или магнитной силой в соответствии с законом Фарадея. Она измеряется в вольтах, а не в ньютонах, и поэтому на самом деле не является силой.
  • резистор : электрический компонент, который передает ток прямо пропорционально напряжению на нем.

Правило петли Кирхгофа (иначе известное как закон напряжения Кирхгофа (KVL), правило сетки Кирхгофа, второй закон Кирхгофа, или второе правило Кирхгофа ) — это правило, относящееся к схемам, и основано на принципе сохранения энергия.

Сохранение энергии — принцип, согласно которому энергия не создается и не разрушается — широко используется во многих исследованиях в области физики, включая электрические схемы. Применительно к схемотехнике подразумевается, что направленная сумма разностей электрических потенциалов (напряжений) вокруг любой замкнутой сети равна нулю.Другими словами, сумма значений электродвижущей силы (ЭДС) в любом замкнутом контуре равна сумме падений потенциала в этом контуре (которые могут исходить от резисторов).

Другое эквивалентное утверждение состоит в том, что алгебраическая сумма произведений сопротивлений проводников (и токов в них) в замкнутом контуре равна общей электродвижущей силе, доступной в этом контуре. Математически правило петли Кирхгофа можно представить как сумму напряжений в цепи, которая приравнивается к нулю:

Теория правил Кирхгофа петли и соединений : Мы оправдываем правила Кирхгофа, исходя из сохранения энергии.\ text {n} \ text {V} _ \ text {k} = 0 [/ latex].

Здесь V k — напряжение на элементе k, а n — общее количество элементов в замкнутой цепи. Иллюстрация такой схемы показана на. В этом примере сумма v 1 , v 2 , v 3 и v 4 (и v 5 , если она включена) равна нуль.

Правило петли Кирхгофа : Правило петли Кирхгофа гласит, что сумма всех напряжений вокруг петли равна нулю: v1 + v2 + v3 — v4 = 0.

Учитывая, что напряжение является мерой энергии на единицу заряда, правило петли Кирхгофа основано на законе сохранения энергии, который гласит: общая энергия, полученная на единицу заряда, должна равняться количеству энергии, потерянной на единицу заряда .

Пример

иллюстрирует изменения потенциала в простой петле последовательной цепи. Второе правило Кирхгофа требует, чтобы ЭДС-Ir-IR 1 -IR 2 = 0. В перестановке это ЭДС = Ir + IR 1 + IR 2 , что означает, что ЭДС равна сумме падений IR (напряжения) в контуре.ЭДС подает 18 В, которое уменьшается до нуля из-за сопротивления, с 1 В на внутреннем сопротивлении и 12 В и 5 В на двух сопротивлениях нагрузки, всего 18 В.

Правило цикла : пример второго правила Кирхгофа, согласно которому сумма изменений потенциала вокруг замкнутого контура должна быть равна нулю. (a) В этой стандартной схеме простой последовательной цепи ЭДС подает 18 В, которое снижается до нуля из-за сопротивлений, с 1 В на внутреннем сопротивлении и 12 В и 5 В на двух сопротивлениях нагрузки для всего 18 В.(b) Этот вид в перспективе представляет потенциал как что-то вроде американских горок, где потенциал повышается за счет ЭДС и понижается за счет сопротивлений. (Обратите внимание, что сценарий E означает ЭДС.)

Ограничение

Правило петли Кирхгофа является упрощением закона индукции Фарадея и выполняется при предположении, что нет флуктуирующего магнитного поля, связывающего замкнутый контур. В присутствии переменного магнитного поля могут индуцироваться электрические поля и возникать ЭДС, и в этом случае правило петли Кирхгофа нарушается.

Приложения

Правила Кирхгофа можно использовать для анализа любой схемы и модифицировать для схем с ЭДС, резисторами, конденсаторами и т. Д.

Цели обучения

Опишите условия, при которых полезно применять правила Кирхгофа.

Основные выводы

Ключевые моменты
  • Правила Кирхгофа применимы к любой цепи, независимо от ее состава и структуры.
  • Поскольку часто легко комбинировать элементы параллельно и последовательно, не всегда удобно применять правила Кирхгофа.
  • Для определения тока в цепи можно применить правила петли и соединения. Как только все токи связаны правилом соединения, можно использовать правило петли для получения нескольких уравнений, которые будут использоваться в качестве системы для нахождения каждого значения тока в терминах других токов. Их можно решить как систему.
Ключевые термины
  • электродвижущая сила : (ЭДС) — напряжение, генерируемое батареей или магнитной силой в соответствии с законом Фарадея. Она измеряется в вольтах, а не в ньютонах, и поэтому на самом деле не является силой.

Обзор

Правила Кирхгофа можно использовать для анализа любой схемы, изменяя их для схем с электродвижущими силами, резисторами, конденсаторами и т. Д. На практике, однако, правила полезны только для характеристики тех цепей, которые нельзя упростить, комбинируя элементы последовательно и параллельно.

Последовательные и параллельные комбинации, как правило, намного проще выполнить, чем применение любого из правил Кирхгофа, но правила Кирхгофа применимы более широко и должны использоваться для решения проблем, связанных со сложными схемами, которые нельзя упростить, комбинируя элементы схемы последовательно или параллельно.

Пример правил Кирхгофа

показывает очень сложную схему, но можно применить правила Кирхгофа для петель и соединений. Чтобы решить схему для токов I 1 , I 2 и I 3 , необходимы оба правила.

Правила Кирхгофа: пример задачи : На этом изображении показана очень сложная схема, которую можно сократить и решить с помощью правил Кирхгофа.

Применяя правило Кирхгофа в точке a, находим:

[латекс] \ text {I} _1 = \ text {I} _2 + \ text {I} _3 [/ latex]

, потому что I 1 течет в точку a, а I 2 и I3 вытекает.То же самое можно найти в точке e. Теперь мы должны решить это уравнение для каждой из трех неизвестных переменных, что потребует трех разных уравнений.

Учитывая цикл abcdea, мы можем использовать правило цикла Кирхгофа:

[латекс] — \ text {I} _2 \ text {R} _2 + \ mathrm {\ text {emf}} _ 1- \ text {I} _2 \ text {r} _1- \ text {I} _1 \ text { R} _1 = — \ text {I} _2 (\ text {R} _2) + \ text {r} _1) + \ mathrm {\ text {emf}} _ 1- \ text {I} _1 \ text {R} _1 = 0 [/ латекс]

Подставляя значения сопротивления и ЭДС из рисунка на диаграмме и отменяя единицу измерения ампер, получаем:

[латекс] -3 \ text {I} _2 + 18-6 \ text {I} _1 = 0 [/ латекс]

Это вторая часть системы трех уравнений, которую мы можем использовать, чтобы найти все три текущих значения.Последний можно найти, применив правило цикла к циклу aefgha, которое дает:

[латекс] \ text {I} _1 \ text {R} _1 + \ text {I} _3 \ text {R} _3 + \ text {I} _3 \ text {r} _2- \ mathrm {\ text {emf}} _2 = \ text {I} _1 \ text {R} _1 + \ text {I} _3 (\ text {R} _3 + \ text {r} _2) — \ mathrm {\ text {emf}} _ 2 = 0 [/ латекс ]

Используя замену и упрощение, это становится:

[латекс] 6 \ text {I} _1 + 2 \ text {I} _3-45 = 0 [/ латекс]

В этом случае знаки поменялись местами по сравнению с другим циклом, потому что элементы перемещаются в противоположном направлении.

Теперь у нас есть три уравнения, которые можно использовать в системе. Второй будет использоваться для определения I 2 и может быть изменен на:

[латекс] \ text {I} _2 = 6-2 \ text {I} _1 [/ латекс]

Третье уравнение может использоваться для определения I 3 и может быть преобразовано в:

[латекс] \ text {I} _3 = 22,5-3 \ text {I} _1 [/ латекс]

Подставляя новые определения I 2 и I 3 (которые являются общими терминами I 1 ) в первое уравнение (I 1 = I 2 + I 3 ), получаем:

[латекс] \ text {I} _1 = (6-2 \ text {I} _1) + (22.5-3 \ text {I} _1) = 28,5-5 \ text {I} _1 [/ latex]

Упрощая, получаем, что I 1 = 4,75 A. Подставляя это значение в два других уравнения, мы находим, что I 2 = -3,50 A и I 3 = 8,25 A.

правил Кирхгофа | Физика

Найдите токи, протекающие в цепи, показанной на Рисунке 5.

Рис. 5. Эта схема аналогична схеме на рис. 1, но указаны сопротивления и ЭДС. (Каждая ЭДС обозначена буквой E.) Токи в каждой ветви отмечены и предполагается, что они движутся в показанных направлениях.В этом примере для определения токов используются правила Кирхгофа.

Стратегия

Эта схема достаточно сложна, поэтому токи нельзя найти с помощью закона Ома и последовательно-параллельных методов — необходимо использовать правила Кирхгофа. Токи обозначены на рисунке I 1 , I 2 и I 3 , и были сделаны предположения относительно их направлений. Места на схеме обозначены буквами от a до h.В решении мы будем применять правила соединения и петли, ища три независимых уравнения, которые позволят нам решить три неизвестных тока.

Решение

Начнем с применения правила Кирхгофа первого или перекрестка в точке а. Это дает

I 1 = I 2 + I 3 ,

с I 1 течет в стык, а I 2 и I 3 вытекает.Применение правила соединения в e дает точно такое же уравнение, так что новая информация не получается. Это одно уравнение с тремя неизвестными — необходимы три независимых уравнения, поэтому необходимо применять правило цикла. Теперь рассмотрим цикл abcdea. Двигаясь от a к b, мы проходим R 2 в том же (предполагаемом) направлении тока I 2 , поэтому изменение потенциала составляет — I 2 R 2 .Затем, переходя от b к c, мы переходим от — к +, так что изменение потенциала составляет + ЭДС 1 . Прохождение внутреннего сопротивления r 1 от c до d дает — I 2 r 1 . Завершение цикла путем перехода от d к a снова проходит через резистор в том же направлении, что и его ток, давая изменение потенциала — I 1 R 1 . Правило цикла гласит, что изменения в потенциале равны нулю.Таким образом,

I 2 R 2 + ЭДС 1 I 2 r 1 I 1 R 1 = — I 2 ( R 2 + R 1 ) + ЭДС 1 I 1 R 1 = 0.

Подставляя значения из принципиальной схемы для сопротивлений и ЭДС и отменяя единицу измерения ампер, получаем

−3 I 2 + 18-6 I 1 = 0.

Теперь, применяя правило цикла к aefgha (мы могли бы также выбрать abcdefgha), аналогично дает

+ I 1 R 1 + I 3 R 3 + I 3 r 2 — ЭДС 2 = + I 1 R 1 + I 3 ( R 3 + r 2 ) — ЭДС 2 = 0.

Обратите внимание, что знаки меняются местами по сравнению с другим циклом, потому что элементы перемещаются в противоположном направлении. С введенными значениями это становится

+6 I 1 + 2 I 3 — 45 = 0.

Этих трех уравнений достаточно для решения трех неизвестных токов. Сначала решите второе уравнение относительно I 2 :

Я 2 = 6-2 Я 1 .

Теперь решите третье уравнение относительно I 3 :

I 3 = 22,5 — 3 I 1 .

Подстановка этих двух новых уравнений в первое позволяет нам найти значение для I 1 :

I 1 = I 2 + I 3 = (6−2 I 1 ) + (22,5− 3 I 1 ) = 28,5 — 5 Я 1 .

Объединение терминов дает

6 I 1 = 28,5 и

I 1 = 4,75 А.

Подставляя это значение вместо I 1 обратно в четвертое уравнение, получаем

I 2 = 6 — 2 I 1 = 6 — 9,50

I 2 = −3,50 А.

Знак минус означает, что I 2 течет в направлении, противоположном предполагаемому на рисунке 5.Наконец, подстановка значения I 1 в пятое уравнение дает

I 3 = 22,5 — 3 I 1 = 22,5 — 14. 25

I 3 = 8,25 А.

Обсуждение

В качестве проверки отметим, что действительно I 1 = I 2 + I 3 . Результаты также можно было проверить, введя все значения в уравнение для цикла abcdefgha.

Закон Кирхгофа о напряжении и сохранение энергии

Закон Густава Кирхгофа о напряжении — второй из его фундаментальных законов, который мы можем использовать для анализа цепей. Его закон напряжения гласит, что для последовательного контура с замкнутым контуром алгебраическая сумма всех напряжений вокруг любого замкнутого контура в цепи равна нулю . Это связано с тем, что контурная петля представляет собой замкнутый проводящий путь, поэтому энергия не теряется.

Другими словами, алгебраическая сумма ВСЕХ разностей потенциалов вокруг контура должна быть равна нулю, как: ΣV = 0.Обратите внимание, что термин «алгебраическая сумма» означает учет полярностей и знаков источников и падений напряжения вокруг контура.

Эта идея Кирхгофа широко известна как Сохранение энергии , поскольку, двигаясь по замкнутому контуру или цепи, вы в конечном итоге вернетесь туда, где вы начали в цепи, и, следовательно, вернетесь к тому же начальному потенциалу без потери напряжение вокруг контура. Следовательно, любые падения напряжения вокруг контура должны быть равны любым источникам напряжения, встречающимся на этом пути.

Таким образом, применяя закон Кирхгофа к конкретному элементу схемы, важно уделять особое внимание алгебраическим знакам (+ и -) падений напряжения на элементах и ​​ЭДС источников, иначе наши расчеты могут быть неверными.

Но прежде чем мы более внимательно рассмотрим закон напряжения Кирхгофа (KVL), давайте сначала поймем падение напряжения на отдельном элементе, таком как резистор.

Элемент одиночной цепи

В этом простом примере мы предположим, что ток I направлен в том же направлении, что и поток положительного заряда, то есть обычный ток.

Здесь ток через резистор проходит от точки A к точке B, то есть от положительной клеммы к отрицательной. Таким образом, поскольку мы движемся в том же направлении, что и ток, на резистивном элементе будет падение на потенциала, что приведет к падению напряжения -IR на нем.

Если бы ток был в противоположном направлении от точки B к точке A, то на резистивном элементе было бы повышение потенциала на по мере того, как мы движемся от — потенциала к потенциалу +, давая нам + I * Падение напряжения R.

Таким образом, чтобы правильно применить закон Кирхгофа к цепи, мы должны сначала понять направление полярности, и, как мы видим, знак падения напряжения на резистивном элементе будет зависеть от направления тока, протекающего через него. Как правило, вы теряете потенциал в том же направлении, что и ток через элемент, и получаете потенциал по мере движения в направлении источника ЭДС.

Направление тока в замкнутой цепи можно принять как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки, и можно выбрать любое из них.Если выбранное направление отличается от фактического направления потока тока, результат все равно будет правильным и действительным, но в результате алгебраический ответ будет иметь знак минус.

Чтобы немного лучше понять эту идею, давайте посмотрим на один контур цепи, чтобы убедиться, что закон напряжения Кирхгофа верен.

Одноконтурный контур

Закон Кирхгофа по напряжению гласит, что алгебраическая сумма разностей потенциалов в любом контуре должна быть равна нулю, как: ΣV = 0.Поскольку два резистора R 1 и R 2 соединены последовательно, они оба являются частью одного контура, поэтому через каждый резистор должен протекать один и тот же ток.

Таким образом, падение напряжения на резисторе R 1 = I * R 1 и падение напряжения на резисторе R 2 = I * R 2 дает KVL:

Мы видим, что применение закона Кирхгофа к этому единственному замкнутому контуру дает формулу для эквивалентного или полного сопротивления в последовательной цепи, и мы можем расширить ее, чтобы найти значения падений напряжения вокруг контура.

Пример закона Кирхгофа о напряжении №1

Три резистора номиналами: 10 Ом, 20 Ом и 30 Ом соответственно подключены последовательно через 12-вольтную батарею. Рассчитайте: а) полное сопротивление, б) ток цепи, в) ток через каждый резистор, г) падение напряжения на каждом резисторе, д) убедитесь, что закон Кирхгофа для напряжения KVL верен.

a) Общее сопротивление (R

T )

R T = R 1 + R 2 + R 3 = 10 Ом + 20 Ом + 30 Ом = 60 Ом

Тогда полное сопротивление цепи R T равно 60 Ом

б) Ток цепи (I)

Таким образом, полный ток цепи I равен 0.2 ампера или 200 мА

c) Ток через каждый резистор

Резисторы соединены последовательно, все они являются частью одного контура, и поэтому каждый из них испытывает одинаковое количество тока. Таким образом:

I R1 = I R2 = I R3 = I СЕРИЯ = 0,2 ампера

г) Падение напряжения на каждом резисторе

В R1 = I x R 1 = 0,2 x 10 = 2 В

В R2 = I x R 2 = 0.2 x 20 = 4 вольта

В R3 = I x R 3 = 0,2 x 30 = 6 В

e) Проверьте закон Кирхгофа о напряжении

Таким образом, закон Кирхгофа по напряжению остается в силе, поскольку отдельные падения напряжения вокруг замкнутого контура в сумме составляют общее.

Цепь Кирхгофа

Мы видели здесь, что закон напряжения Кирхгофа, KVL, является вторым законом Кирхгофа и утверждает, что алгебраическая сумма всех напряжений падает, когда вы идете по замкнутой цепи из некоторой фиксированной точки и возвращаетесь обратно в ту же точку, принимая полярность в счет всегда равен нулю.То есть ΣV = 0

Теория, лежащая в основе второго закона Кирхгофа, также известна как закон сохранения напряжения, и это особенно полезно для нас, когда мы имеем дело с последовательными цепями, поскольку последовательные цепи также действуют как делители напряжения, а схема делителя напряжения является важным приложением многих последовательные схемы.

Закон цепей Кирхгофа и теория цепей Кирхгофа

Мы видели в руководстве по резисторам, что одно эквивалентное сопротивление (R T ) можно найти, когда два или более резистора соединены вместе последовательно, параллельно или в комбинации обоих, и что эти цепи подчиняются закону Ома.

Однако иногда в сложных схемах, таких как мостовые или Т-сети, мы не можем просто использовать только закон Ома, чтобы найти напряжения или токи, циркулирующие в цепи. Для этих типов вычислений нам нужны определенные правила, которые позволяют нам получить уравнения цепи, и для этого мы можем использовать Закон Кирхгофа для цепей.

В 1845 году немецкий физик Густав Кирхгоф разработал пару или свод правил или законов, касающихся сохранения тока и энергии в электрических цепях.Эти два правила широко известны как: Законы Кирхгофа для цепей с одним из законов Кирхгофа, касающихся тока, протекающего по замкнутой цепи, Закон Кирхгофа по току (KCL) , в то время как другой закон касается источников напряжения, присутствующих в замкнутой цепи. схема, Закон Кирхгофа о напряжении, (KVL) .

Первый закон Кирхгофа — Действующий закон, (KCL)

Текущий закон Кирхгофа или KCL гласит, что «общий ток или заряд , входящий в соединение или узел, в точности равен заряду, выходящему из узла, поскольку ему некуда идти, кроме как уйти, поскольку заряд не теряется внутри. узел ».Другими словами, алгебраическая сумма ВСЕХ токов, входящих и выходящих из узла, должна быть равна нулю, I (выход) + I (вход) = 0. Эта идея Кирхгофа широко известна как Сохранение заряда. .

Действующий закон Кирхгофа

Здесь три тока, входящие в узел, I 1 , I 2 , I 3 , имеют положительное значение, а два тока, выходящие из узла, I 4 и I 5 имеют отрицательное значение. .Тогда это означает, что мы также можем переписать уравнение как;

I 1 + I 2 + I 3 — I 4 — I 5 = 0

Термин Узел в электрической цепи обычно относится к соединению или стыку двух или более токоведущих путей или элементов, таких как кабели и компоненты. Также для протекания тока в узел или из него должен существовать замкнутый контур. Мы можем использовать закон Кирхгофа при анализе параллельных цепей.

Второй закон Кирхгофа — Закон напряжения, (KVL)

Закон Кирхгофа о напряжении или KVL гласит, что « в любой замкнутой сети, полное напряжение вокруг контура равно сумме всех падений напряжения в том же контуре », которая также равна нулю. Другими словами, алгебраическая сумма всех напряжений в контуре должна быть равна нулю. Эта идея Кирхгофа известна как Сохранение энергии .

Закон Кирхгофа о напряжении

Запуск в любой точке цикла, продолжение в том же направлении , отмечая направление всех падений напряжения, положительных или отрицательных, и возвращаясь к той же начальной точке.Важно поддерживать одно и то же направление по часовой стрелке или против часовой стрелки, иначе итоговая сумма напряжений не будет равна нулю. Мы можем использовать закон напряжения Кирхгофа при анализе последовательных цепей.

При анализе цепей постоянного или переменного тока с использованием Законов для цепей Кирхгофа используется ряд определений и терминологии для описания частей анализируемой цепи, таких как: узел, пути, ответвления, петли и сети. Эти термины часто используются в схемотехническом анализе, поэтому их важно понимать.

Общие термины теории цепей постоянного тока:

  • • Цепь — цепь представляет собой проводящий путь с замкнутым контуром, в котором протекает электрический ток.
  • • Путь — отдельная линия соединяющих элементов или источников.
  • • Узел — узел — это соединение, соединение или терминал в цепи, где два или более элемента схемы соединены или соединены вместе, образуя точку соединения между двумя или более ответвлениями. Узел обозначен точкой.
  • • Ответвление — ответвление — это один или группа компонентов, таких как резисторы или источник, которые подключены между двумя узлами.
  • • Цикл — цикл — это простой замкнутый путь в цепи, в котором ни один элемент схемы или узел не встречается более одного раза.
  • • Сетка — сетка — это один последовательный путь замкнутого цикла, не содержащий других путей. Внутри сетки нет петель.

Обратите внимание:

Считается, что компоненты

соединены последовательно, если через все компоненты протекает одно и то же значение тока.

Считается, что компоненты

соединены друг с другом параллельно, если к ним приложено одинаковое напряжение.

Типовая цепь постоянного тока

Пример закона цепи Кирхгофа №1

Найдите ток, протекающий через резистор 40 Ом, R 3

Схема имеет 3 ветви, 2 узла (A и B) и 2 независимых контура.

Используя Закон Кирхгофа , KCL , уравнения имеют следующий вид:

В узле A: I 1 + I 2 = I 3

В узле B: I 3 = I 1 + I 2

Используя Закон Кирхгофа , KVL , уравнения имеют следующий вид:

Петля 1 имеет вид: 10 = R 1 I 1 + R 3 I 3 = 10I 1 + 40I 3

Контур 2 имеет вид: 20 = R 2 I 2 + R 3 I 3 = 20I 2 + 40I 3

Цикл 3 имеет вид: 10-20 = 10I 1 -20I 2

Поскольку I 3 является суммой I 1 + I 2 , мы можем переписать уравнения в виде;

Ур.Нет 1:10 = 10I 1 + 40 (I 1 + I 2 ) = 50I 1 + 40I 2

Ур. Нет 2:20 = 20I 2 + 40 (I 1 + I 2 ) = 40I 1 + 60I 2

Теперь у нас есть два « одновременных уравнений », которые можно уменьшить, чтобы получить значения I 1 и I 2

Замена I 1 на I 2 дает нам значение I 1 как -0.143 Ампер

Замена I 2 на I 1 дает нам значение I 2 как +0,429 А

Как: I 3 = I 1 + I 2

Ток, протекающий через резистор R 3 , определяется как: -0,143 + 0,429 = 0,286 А

, а напряжение на резисторе R 3 определяется как: 0,286 x 40 = 11,44 В

Отрицательный знак для I 1 означает, что изначально выбранное направление тока было неправильным, но тем не менее действительным.Фактически, батарея 20v заряжает батарею 10v.

Применение законов об округе Кирхгофа

Эти два закона позволяют найти токи и напряжения в цепи, т. Е. Цепь называется «анализируемой», и основная процедура использования Законов Кирхгофа для цепей выглядит следующим образом:

  • 1. Предположим, что указаны все напряжения и сопротивления. (Если не обозначить их V1, V2,… R1, R2 и т. Д.)
  • 2. Назначает ток каждой ветви или сети (по часовой стрелке или
    против часовой стрелки)
  • 3. Обозначьте каждую ветвь током ответвления. (I1, I2, I3 и т. Д.)
  • 4. Найдите уравнения первого закона Кирхгофа для каждого узла.
  • 5. Найдите уравнения второго закона Кирхгофа для каждого из независимых контуров схемы.
  • 6. Используйте линейные одновременные уравнения, чтобы найти неизвестные токи.

Помимо использования закона Кирхгофа для цепей для расчета различных напряжений и токов, циркулирующих по линейной цепи, мы также можем использовать анализ контура для расчета токов в каждом независимом контуре, что помогает сократить количество математических операций, требуемых за счет простого использования Законы Кирхгофа.В следующем уроке о цепях постоянного тока мы рассмотрим анализ тока сетки, чтобы сделать именно это.

законов Кирхгофа | Основы резистора

Густав Роберт Кирхгоф

Законы Кирхгофа важны для теории резисторных цепей. Они были сформулированы немецким ученым Густавом Кирхгофом в 1845 году. Законы описывают сохранение энергии и заряда в электрических сетях.Их также называют схемными законами Кирхгофа. Кирхгоф также внес свой вклад в другие области науки, поэтому общий термин закон Кирхгофа может иметь разные значения. Оба закона цепи, закон Кирхгофа по току (KCL) и закон Кирхгофа по напряжению (KVL), будут подробно объяснены.

Действующий закон Кирхгофа (KCL)

Закон Кирхгофа (KCL) утверждает, что сумма всех токов, выходящих из узла в любой электрической сети, всегда равна нулю. В его основе лежит принцип сохранения электрического заряда.n I_i = 0 $$

KCL легче понять на примере. Посмотрите на рисунок на произвольный узел A из резисторной сети. К этому узлу подключены три ветви. Известны два тока: I 1 — 2 А, а I 2 — 4 А.

Действующий закон гласит, что сумма I 1 , I 2 и I 3 должна быть равна нулю:

$$ I_1 + I_2 + I_3 = 0 $$

$$ I_3 = — I_1 — I_2 $$

$$ I_3 = -2 — 4 = -6A $$

Закон напряжения Кирхгофа (KVL)

Второй закон также называется законом напряжения Кирхгофа (KVL).n V_i = 0 $$

Давайте рассмотрим пример, чтобы объяснить второй закон. Рассмотрим часть резисторной сети с внутренним замкнутым контуром, как показано на рисунке ниже. Мы хотим знать падение напряжения между узлами B и C (V BC ). Сумма падений напряжения в контуре ABCD должна быть равна нулю, поэтому мы можем написать:

$$ V_ {ab} + V_ {bc} + V_ {cd} + V_ {da} = 0 $$

$$ V_ {bc} = -V_ {ab} — V_ {cd} — V_ {da} $$

$$ V_ {bc} = -1 — 2 — 4 = -7V $$

Два закона цепи объяснены в видео ниже.

Примеры использования законов Кирхгофа

Законы Кирхгофа составляют основу теории сетей. В сочетании с законом Ома и уравнениями для резисторов, включенных последовательно и параллельно, можно решить более сложные схемы. Дано несколько примеров резисторных схем, чтобы проиллюстрировать, как можно использовать законы Кирхгофа.

Пример 1: мостовая схема

Мостовые схемы — очень распространенный инструмент в электронике. Они используются в измерениях, преобразователях и схемах переключения.Рассмотрим мостовую схему ниже. В этом примере мы покажем, как использовать законы Кирхгофа для определения перекрестного тока I 5 . Схема имеет четыре перемычки с резисторами R 1 — R 4 . Имеется одно кросс-мостовое соединение с резистором R 5 . Мост находится под постоянным напряжением В и током I .

Первый закон Кирхгофа (KCL) гласит, что сумма всех токов в одном узле равна нулю.Это дает:

$$ I = I_1 + I_2 $$

$$ I = I_3 + I_4 $$

$$ I_1 = I_3 + I_5 $$

Второй закон Кирхгофа (KVL) гласит, что сумма всех напряжений на всех элементах контура равна нулю. Это приводит к:

$$ R_1I_1 + R_3I_3 — V = 0 $$

$$ R_1I_1 + R_5I_5 — R_2I_2 = 0 $$

$$ R_3I_3 — R_4I_4 — R_5I_5 = 0 $$

Шесть приведенных выше наборов уравнений можно переписать с использованием нормальной алгебры, чтобы найти выражение для I 5 (ток в поперечной ветви):

$$ I_5 = \ frac {V (R_2R_3 — R_1R_4)} {R_5 (R_1 + R_3) (R_2 + R_4) + R_1R_3 (R_2 + R_4) + R_2R_4 (R_1 + R_3)} $$

Уравнение показывает, что для моста, который необходимо уравновесить с током моста, равным нулю:

$$ R_2R_3 = R_1R_4 $$

Пример 2: преобразование звезда-треугольник (или звезда-треугольник)

Законы Кирхгофа можно использовать для преобразования соединения звезды (также называемого звездой) в соединение треугольником.Это часто делается для решения сложных сетей. Широко распространенное применение соединения звезда-треугольник — ограничение пускового тока электродвигателей. Высокий пусковой ток вызывает высокие падения напряжения в энергосистеме. В качестве решения обмотки двигателя подключаются по схеме «звезда» во время пуска, а затем меняются на соединение по схеме «треугольник».

Соединение звездой, как показано на рисунке выше, имеет те же падения напряжения и токи, что и соединение треугольником, показанное справа, только если справедливы следующие уравнения:

$$ R1 = \ frac {R_ {31} R_ {12}} {R_ {12} + R_ {23} + R_ {31}} $$

$$ R_ {12} = R_1 + R_2 + \ frac {R_1R_2} {R3} $$

$$ R2 = \ frac {R_ {12} R_ {23}} {R_ {12} + R_ {23} + R_ {31}} $$

$$ R_ {23} = R_2 + R_3 + \ frac {R_2R_3} {R1} $$

$$ R3 = \ frac {R_ {23} R_ {31}} {R_ {12} + R_ {23} + R_ {31}} $$

$$ R_ {31} = R_3 + R_1 + \ frac {R_3R_1} {R2} $$

Законы Кирхгофа для тока и напряжения

В 1845 году немецкий физик Густав Кирхгоф впервые описал два закона, которые стали центральными в электротехнике.Текущий закон Кирхгофа, также известный как закон соединения Кирхгофа и первый закон Кирхгофа, определяют способ распределения электрического тока, когда он проходит через соединение — точку, где встречаются три или более проводника. Другими словами, законы Кирхгофа гласят, что сумма всех токов, покидающих узел в электрической сети, всегда равна нулю.

Эти законы чрезвычайно полезны в реальной жизни, поскольку они описывают соотношение значений токов, протекающих через точку соединения, и напряжений в контуре электрической цепи.Они описывают, как электрический ток течет во всех миллиардах электроприборов и устройств, а также во всех домах и на предприятиях, которые постоянно используются на Земле.

Законы Кирхгофа: основы

В частности, в законах говорится:

Алгебраическая сумма тока в любом соединении равна нулю.

Поскольку ток — это поток электронов через проводник, он не может накапливаться на стыке, а это означает, что ток сохраняется: то, что входит, должно выходить.Представьте себе хорошо известный пример соединения: распределительную коробку. Эти ящики устанавливаются в большинстве домов. Это коробки, в которых проложена проводка, по которой должно протекать все электричество в доме.

При выполнении расчетов ток, текущий в переход и выходящий из него, обычно имеет противоположные знаки. Вы также можете сформулировать Текущий закон Кирхгофа следующим образом:

Сумма тока в соединении равна сумме тока вне соединения.

Вы можете более конкретно разбить два закона.

Действующий закон Кирхгофа

На картинке показано место соединения четырех проводов (проводов). В стык текут токи v 2 и v 3 , а из него вытекают токи v 1 и v 4 . В этом примере правило соединения Кирхгофа дает следующее уравнение:

v 2 + v 3 = v 1 + v 4

Закон Кирхгофа о напряжении

Закон Кирхгофа о напряжении описывает распределение электрического напряжения в петле или замкнутом проводящем пути электрической цепи.Закон Кирхгофа о напряжении гласит, что:

Алгебраическая сумма разностей напряжений (потенциалов) в любом контуре должна равняться нулю.

Различия в напряжении включают в себя те, которые связаны с электромагнитными полями (ЭМП) и резистивными элементами, такими как резисторы, источники питания (например, батареи) или устройства — лампы, телевизоры и блендеры, подключенные к цепи. Представьте себе, что напряжение растет и падает по мере того, как вы двигаетесь по любой из отдельных петель в цепи.

Закон Кирхгофа о напряжении возникает потому, что электростатическое поле в электрической цепи является консервативным силовым полем. Напряжение представляет собой электрическую энергию в системе, поэтому рассматривайте его как особый случай сохранения энергии. Когда вы идете по циклу, когда вы прибываете в начальную точку, имеет тот же потенциал, что и в начале, поэтому любые увеличения и уменьшения по циклу должны отменяться, чтобы общее изменение было нулевым. В противном случае потенциал в начальной / конечной точке имел бы два разных значения.

Положительные и отрицательные признаки в законе напряжения Кирхгофа

Использование правила напряжения требует некоторых условных обозначений, которые не обязательно столь же ясны, как в правиле тока. Выберите направление (по или против часовой стрелки), в котором будет проходить петля. При переходе от положительного к отрицательному (+ к -) в ЭДС (источнике питания) напряжение падает, поэтому значение становится отрицательным. При переходе от отрицательного к положительному (- к +) напряжение возрастает, поэтому значение будет положительным.

Помните, что, путешествуя по цепи для применения закона Кирхгофа, убедитесь, что вы всегда движетесь в одном и том же направлении (по часовой стрелке или против часовой стрелки), чтобы определить, представляет ли данный элемент увеличение или уменьшение напряжения.Если вы начнете прыгать, двигаться в разных направлениях, ваше уравнение будет неверным.

При переходе через резистор изменение напряжения определяется по формуле:

I * R

где I — значение тока, а R — сопротивление резистора. Пересечение в том же направлении, что и ток, означает, что напряжение падает, поэтому его значение отрицательное. При пересечении резистора в направлении, противоположном току, значение напряжения положительное, поэтому оно увеличивается.

Применение закона Кирхгофа о напряжении

Самые основные применения законов Кирхгофа относятся к электрическим цепям. Вы, возможно, помните из физики средней школы, что электричество в цепи должно течь в одном непрерывном направлении. Если, например, вы щелкнете выключателем света, вы нарушите цепь и, следовательно, выключите свет. Как только вы снова щелкнете выключателем, вы снова включите цепь, и снова загорится свет.

Или подумайте о том, как повесить огни на свой дом или рождественскую елку.Если перегорает только одна лампочка, гаснет вся цепочка огней. Это потому, что электричеству, остановленному разбитым светом, некуда деться. Это то же самое, что выключить свет и разорвать цепь. Другой аспект этого в отношении законов Кирхгофа состоит в том, что сумма всего электричества, входящего и вытекающего из соединения, должна быть равна нулю. Электричество, поступающее в соединение (и протекающее по цепи), должно равняться нулю, потому что электричество, которое входит в него, также должно выходить.

Итак, в следующий раз, когда вы будете работать над своей распределительной коробкой или наблюдать за тем, как это делает электрик, натягивая электрические праздничные огни, или включаете или выключаете телевизор или компьютер, помните, что Кирхгоф сначала описал, как все это работает, тем самым открывая эпоху электричество.

6.3 Правила Кирхгофа — Введение в электричество, магнетизм и электрические цепи

ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ

По окончании раздела вы сможете:
  • Государственное правило Кирхгофа
  • Государственное правило петли Кирхгофа
  • Анализировать сложные схемы по правилам Кирхгофа

Мы только что видели, что некоторые схемы можно проанализировать, сведя схему к одному источнику напряжения и эквивалентному сопротивлению.Многие сложные схемы не могут быть проанализированы с помощью последовательно-параллельных методов, разработанных в предыдущих разделах. В этом разделе мы подробно рассмотрим использование правил Кирхгофа для анализа более сложных схем. Например, схема на рисунке 6.3.1 известна как многоконтурная схема , которая состоит из переходов. Соединение, также известное как узел, представляет собой соединение трех или более проводов. В этой схеме нельзя использовать предыдущие методы, потому что не все резисторы имеют четкую последовательную или параллельную конфигурацию, которую можно уменьшить.Попробуйте. Резисторы и включены последовательно и могут быть уменьшены до эквивалентного сопротивления. То же самое и с резисторами и. Но что же тогда делать?

Несмотря на то, что эта схема не может быть проанализирована с помощью уже изученных методов, два правила анализа схемы могут использоваться для анализа любой схемы, простой или сложной. Правила известны как правила Кирхгофа , в честь их изобретателя Густава Кирхгофа (1824–1887).

(рисунок 6.3.1)

Рисунок 6.3.1 Эта схема не может быть сведена к комбинации последовательного и параллельного соединения. Однако мы можем использовать правила Кирхгофа для его анализа.

ПРАВИЛА КИРХГОФА


  • Первое правило Кирхгофа — правило перехода . Сумма всех токов, входящих в соединение, должна равняться сумме всех токов, выходящих из соединения:

    (6.3.1)

  • Второе правило Кирхгофа — правило петли. Алгебраическая сумма изменений потенциала вокруг любого пути (контура) замкнутой цепи должна быть равна нулю:

    (6.3.2)

Теперь мы даем объяснения этих двух правил, за которыми следуют советы по их применению и рабочий пример, в котором они используются.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Кирхгофа (правило соединения) применяется к заряду, входящему в соединение и выходящему из него (рисунок 6.3.2). Как указывалось ранее, соединение или узел — это соединение трех или более проводов. Ток — это поток заряда, и заряд сохраняется; таким образом, любой заряд, попадающий в переход, должен вытекать.

(рисунок 6.3.2)

Рисунок 6.3.2. Заряд должен сохраняться, поэтому сумма токов в переходе должна быть равна сумме токов на выходе.

Несмотря на то, что это чрезмерное упрощение, можно провести аналогию с водопроводными трубами, соединенными в водопроводной разводке. Если провода на рис. 6.3.2 были заменены водопроводными трубами, а вода считалась несжимаемой, объем воды, поступающей в разветвление, должен был равняться объему воды, вытекающей из разветвления.

Второе правило Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа (правило петли ) применяется к разности потенциалов. Правило петли сформулировано в терминах потенциальной, а не потенциальной энергии, но они связаны между собой. В замкнутом контуре, какая бы энергия ни поступала от источника напряжения, энергия должна быть передана в другие формы устройствами в контуре, поскольку нет других способов передачи энергии в цепь или из нее. Правило петли Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма разностей потенциалов, включая напряжение, подаваемое источниками напряжения и резистивными элементами, в любой петле должна быть равна нулю.Например, рассмотрим простую петлю без стыков, как на рисунке 6.3.3.

(рисунок 6.3.3)

Рисунок 6.3.3 Простая петля без стыков. Правило петли Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма разностей напряжений равна нулю.

Схема состоит из источника напряжения и трех внешних нагрузочных резисторов. Ярлыки,, и служат ссылками и не имеют другого значения. Скоро станет очевидна полезность этих этикеток. Петля обозначена как петля, и метки помогают отслеживать разницу напряжений при перемещении по цепи.Начните с точки и двигайтесь к ней. Напряжение источника напряжения добавляется к уравнению, а падение потенциала на резисторе вычитается. От точки до потенциальный перепад вычитается. От до вычитается потенциальный перепад. От пунктов до ничего не делается, потому что нет компонентов.

На рис. 6.3.4 показан график напряжения при перемещении по контуру. Напряжение увеличивается при прохождении через батарею, тогда как напряжение уменьшается при прохождении через резистор.Падение потенциала , или изменение электрического потенциала, равно величине тока через резистор, умноженной на сопротивление резистора. Поскольку провода имеют незначительное сопротивление, напряжение остается постоянным, когда мы пересекаем провода, соединяющие компоненты.

(рисунок 6.3.4)

Рисунок 6.3.4 График напряжения при движении по цепи. Напряжение увеличивается, когда мы пересекаем батарею, и уменьшается, когда мы пересекаем каждый резистор. Поскольку сопротивление провода довольно мало, мы предполагаем, что напряжение остается постоянным, когда мы пересекаем провода, соединяющие компоненты.

Тогда правило петли Кирхгофа утверждает

Уравнение контура можно использовать для определения тока в контуре:

Этот цикл можно было бы проанализировать с помощью предыдущих методов, но мы продемонстрируем мощь метода Кирхгофа в следующем разделе.

Применение правил Кирхгофа

Применяя правила Кирхгофа, мы генерируем набор линейных уравнений, которые позволяют нам находить неизвестные значения в схемах. Это могут быть токи, напряжения или сопротивления.Каждый раз, когда применяется правило, оно создает уравнение. Если независимых уравнений столько же, сколько неизвестных, то проблема может быть решена.

Использование метода анализа Кирхгофа требует нескольких шагов, перечисленных в следующей процедуре.


Стратегия решения проблем: правила Кирхгофа
  1. Обозначьте точки на принципиальной схеме строчными буквами. Эти ярлыки просто помогают сориентироваться.
  2. Найдите соединения в цепи. Соединения — это точки, в которых соединяются три или более проводов.Обозначьте каждое соединение токами и направлениями в него и из него. Убедитесь, что хотя бы один ток направлен на соединение и хотя бы один ток выходит из соединения.
  3. Выбрать петли в схеме. Каждый компонент должен содержаться хотя бы в одном цикле, но компонент может содержаться более чем в одном цикле.
  4. Примените правило соединения. Опять же, некоторые стыки не следует включать в анализ. Вам нужно использовать достаточно узлов только для включения каждого тока.
  5. Примените правило цикла.Используйте карту на рисунке 6.3.5.

(рисунок 6.3.5)

Рисунок 6.3.5 Каждый из этих резисторов и источников напряжения проходит от до. (a) При перемещении через резистор в том же направлении, что и ток, вычтите падение потенциала. (b) При перемещении через резистор в направлении, противоположном току, добавьте падение потенциала. (c) При перемещении источника напряжения от отрицательной клеммы к положительной, добавьте падение потенциала.(d) При перемещении через источник напряжения от положительной клеммы к отрицательной вычтите падение потенциала.

Давайте подробнее рассмотрим некоторые этапы этой процедуры. При размещении переходов в цепи не обращайте внимания на направление токов. Если направление потока тока неочевидно, выбора любого направления достаточно, если хотя бы один ток направлен в соединение и хотя бы один ток выходит из соединения. Если стрелка находится в направлении, противоположном обычному потоку тока, результат для рассматриваемого тока будет отрицательным, но ответ все равно будет правильным.

Количество узлов зависит от схемы. Каждый ток должен быть включен в узел и, таким образом, включен по крайней мере в одно уравнение соединения. Не включайте узлы, которые не являются линейно независимыми, то есть узлы, содержащие одинаковую информацию.

Рассмотрим рисунок 6.3.6. В этой цепи есть два соединения: соединение и соединение. Точки,, и не являются соединениями, потому что соединение должно иметь три или более соединений. Уравнение для соединения есть, а уравнение для соединения есть.Это эквивалентные уравнения, поэтому необходимо оставить только одно из них.

(рисунок 6.3.6)

Рисунок 6.3.6 На первый взгляд, эта схема содержит два соединения, соединение и соединение, но следует рассматривать только один, поскольку их уравнения соединения эквивалентны.

При выборе петель в схеме вам необходимо достаточное количество петель, чтобы каждый компонент был покрыт один раз, без повторения петель. На рис. 6.3.7 показаны четыре варианта петель для решения типовой схемы; варианты (a), (b) и (c) имеют достаточное количество циклов для полного решения схемы.Вариант (d) отражает больше петель, чем необходимо для решения схемы.

(рисунок 6.3.7)

Рисунок 6.3.7 Панели (a) — (c) достаточно для анализа схемы. В каждом случае два показанных контура содержат все элементы схемы, необходимые для полного решения схемы. На панели (d) показаны три использованных контура, что больше, чем необходимо. Любые две петли в системе будут содержать всю информацию, необходимую для решения схемы. Добавление третьего цикла дает избыточную информацию.

Рассмотрим схему на Рисунке 6.3.8 (a). Давайте проанализируем эту схему, чтобы найти ток через каждый резистор. Сначала промаркируйте схему, как показано в части (b).

(рисунок 6.3.8)

Рисунок 6.3.8 (a) Многоконтурная схема. (b) Пометьте цепь, чтобы облегчить ориентацию.

Далее определяем перекрестки. В этой схеме точки и каждая имеют по три соединенных провода, что делает их соединениями. Начните применять правило соединения Кирхгофа, нарисовав стрелки, представляющие токи, и пометив каждую стрелку, как показано на рисунке 6.3.9 (б). Junction показывает это, а Junction это показывает. Поскольку Junction предоставляет ту же информацию, что и Junction, ее можно не принимать во внимание. Эта схема имеет три неизвестных, поэтому для ее анализа нам понадобятся три линейно независимых уравнения.

(рисунок 6.3.9)

Рис. 6.3.9. (a) Эта схема имеет два соединения, обозначенных b и e, но в анализе используется только узел b. (b) Обозначенные стрелки представляют токи в переходах и на выходе из них.

Далее нам нужно выбрать петли.На рисунке 6.3.10 контур включает источник напряжения, резисторы и. Цикл начинается с точки, затем проходит через точки, и, а затем возвращается к точке. Вторая петля, петля, начинается в точке и включает резисторы и источник напряжения.

(рисунок 6.3.10)

Рисунок 6.3.10 Выберите петли в схеме.

Теперь мы можем применить правило цикла Кирхгофа, используя карту на рис. 6.3.5. Начиная с точки и двигаясь к точке, резистор пересекается в том же направлении, что и ток, поэтому падение потенциала вычитается.При перемещении от точки к точке резистор пересекается в том же направлении, что и ток, поэтому падение потенциала вычитается. При перемещении от точки к точке источник напряжения пересекается от отрицательной клеммы к положительной, поэтому добавляется. Между точками и нет компонентов. Сумма разностей напряжений должна равняться нулю:

Наконец, проверяем цикл. Мы начинаем с точки и переходим к точке, пересекаясь в направлении, противоположном текущему потоку.Потенциальное падение добавлено. Затем мы пересекаем и в том же направлении, что и ток, и вычитаем падения потенциала и. Обратите внимание, что через резисторы и ток одинаковый, потому что они соединены последовательно. Наконец, источник напряжения пересекается с положительной клеммы на отрицательную, а источник напряжения вычитается. Сумма этих разностей напряжений равна нулю и дает уравнение контура

Теперь у нас есть три уравнения, которые мы можем решить относительно трех неизвестных.

Чтобы решить три уравнения для трех неизвестных токов, начните с исключения тока. Сначала добавьте уравнение. (1) раз к формуле. (2). Результат обозначен как уравнение. (4):

Затем вычтите уравнение. (3) из уравнения. (2). Результат обозначен как уравнение. (5):

Мы можем решить уравнения. (4) и (5) для тока. Сложив семь раз уравнение. (4) и троекратное уравнение. (5) приводит к, или. Используя уравнение.(4) приводит к. Наконец, уравнение. (1) дает. Один из способов проверить соответствие решений — проверить мощность, подаваемую источниками напряжения, и мощность, рассеиваемую резисторами:

Обратите внимание, что решение для тока отрицательное. Это правильный ответ, но он предполагает, что стрелка, первоначально нарисованная при анализе соединений, имеет направление, противоположное направлению обычного тока. Питание от второго источника напряжения есть и нет.

ПРИМЕР 6.3.1


Расчет тока по правилам Кирхгофа

Найдите токи, протекающие в цепи, показанной на рисунке 6.3.11.

(рисунок 6.3.11)

Рисунок 6.3.11 Эта схема представляет собой комбинацию последовательной и параллельной конфигураций резисторов и источников напряжения. Эта схема не может быть проанализирована с использованием методов, обсуждаемых в «Электродвижущей силе», но может быть проанализирована с использованием правил Кирхгофа.
Стратегия

Эта схема достаточно сложна, поэтому токи нельзя найти с помощью закона Ома и последовательно-параллельных методов — необходимо использовать правила Кирхгофа.Токи обозначены, и на рисунке, и сделаны предположения об их направлениях. Места на схеме обозначены сквозными буквами. В решении мы применяем правила перехода и петли, ища три независимых уравнения, которые позволят нам найти три неизвестных тока.

Решение

Применение правил соединения и петли дает следующие три уравнения. У нас есть три неизвестных, поэтому требуется три уравнения.

Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений.

Упростите уравнения. Уравнение первого цикла можно упростить, разделив обе части на. Уравнение второго цикла можно упростить, разделив обе части на.

Результатов:

Значение

Метод проверки расчетов заключается в вычислении мощности, рассеиваемой резисторами, и мощности, подаваемой источниками напряжения:

Подаваемая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами.

ПРОВЕРЬТЕ ПОНИМАНИЕ 6.6


При рассмотрении следующей схемы и мощности, подаваемой и потребляемой схемой, будет ли источник напряжения всегда обеспечивать питание схемы или может ли источник напряжения потреблять энергию?

ПРИМЕР 6.3.2


Расчет тока по правилам Кирхгофа

Найдите ток, протекающий в цепи, показанной на рисунке 6.3.12.

(рисунок 6.3.12)

Рисунок 6.3.12 Эта схема состоит из трех последовательно соединенных резисторов и двух батарей. Обратите внимание, что батареи подключены с противоположной полярностью.
Стратегия

Эту схему можно проанализировать с помощью правил Кирхгофа. Есть только один цикл и нет узлов. Выберите направление тока. В этом примере мы будем использовать направление по часовой стрелке от точки к точке. Рассмотрим цикл и воспользуйтесь рисунком 6.3.5, чтобы написать уравнение цикла. Обратите внимание, что согласно рисунку 6.3.5, батарея будет добавлена, а батарея вычтена.

Решение

Применение правила соединения дает следующие три уравнения. У нас есть одно неизвестное, поэтому требуется одно уравнение:

Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений. Используйте значения, указанные на рисунке.

Значение

Мощность, рассеиваемая или потребляемая схемой, равна мощности, подаваемой в схему, но обратите внимание, что ток в батарее течет через батарею от положительной клеммы к отрицательной клемме и потребляет мощность.

Подаваемая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами и потребляемой батареей.

ПРОВЕРЬТЕ ПОНИМАНИЕ 6.7


При использовании законов Кирхгофа вам необходимо решить, какие петли использовать и направление тока через каждую петлю. При анализе схемы в Примере 6.3.2 направление тока было выбрано по часовой стрелке от точки a до точки b .Как бы изменились результаты, если бы направление тока было выбрано против часовой стрелки, от точки к точке?

Несколько источников напряжения

Для многих устройств требуется более одной батареи. Несколько источников напряжения, например батареи, могут быть подключены в последовательной конфигурации, параллельной конфигурации или их комбинации.

Последовательно положительная клемма одной батареи соединена с отрицательной клеммой другой батареи. Любое количество источников напряжения, в том числе аккумуляторы, можно подключать последовательно.Две последовательно соединенные батареи показаны на рисунке 6.3.13. Использование правила петли Кирхгофа для схемы в части (b) дает результат

(рисунок 6.3.13)

Рисунок 6.3.13 (a) Две батареи, подключенные последовательно с нагрузочным резистором. (b) Принципиальная схема двух батарей и нагрузочного резистора, каждая из которых моделируется как идеализированный источник ЭДС и внутреннее сопротивление.

Когда источники напряжения включены последовательно, их внутренние сопротивления можно складывать вместе, а их ЭДС можно складывать вместе, чтобы получить общие значения.Последовательное соединение источников напряжения является обычным явлением, например, в фонариках, игрушках и других приборах. Обычно ячейки включены последовательно, чтобы обеспечить большую суммарную ЭДС. На рисунке 6.3.13 напряжение на клеммах равно

.

Обратите внимание, что в каждой батарее присутствует одинаковый ток, поскольку они соединены последовательно. Недостаток последовательного соединения ячеек в том, что их внутренние сопротивления складываются.

Батареи соединены последовательно для увеличения напряжения, подаваемого в цепь.Например, светодиодный фонарик может иметь две батарейки типа AAA, каждая с напряжением на клеммах, подаваемым на фонарик.

Любое количество аккумуляторов может быть подключено последовательно. Для аккумуляторов, включенных последовательно, напряжение на зажимах равно

.

(6.3.3)

, где эквивалентное сопротивление.

Когда нагрузка подключается к источникам напряжения последовательно, как показано на рисунке 6.3.14, мы можем найти ток:

Как и ожидалось, внутренние сопротивления увеличивают эквивалентное сопротивление.

(рисунок 6.3.14)

Рисунок 6.3.14 Две батареи подключаются последовательно к светодиодной лампе, как в фонарике.

Источники напряжения, такие как батареи, также можно подключать параллельно. На рисунке 6.3.15 показаны две батареи с одинаковыми ЭДС, включенные параллельно и подключенные к сопротивлению нагрузки. Когда батареи подключаются параллельно, положительные клеммы соединяются вместе, а отрицательные клеммы соединяются вместе, а сопротивление нагрузки подключается к положительной и отрицательной клеммам.Обычно источники напряжения, включенные параллельно, имеют идентичные ЭДС. В этом простом случае, поскольку источники напряжения подключены параллельно, общая ЭДС равна индивидуальной ЭДС каждой батареи.

(рисунок 6.3.15)

Рисунок 6.3.15 (a) Две батареи подключаются параллельно к нагрузочному резистору. (b) На принципиальной схеме показана батарея как источник ЭДС и внутренний резистор. Два источника ЭДС имеют идентичные ЭДС (каждый помечен значком), соединенные параллельно, которые создают одинаковую ЭДС.

Рассмотрим анализ Кирхгофа схемы на рис. 6.3.15 (b). В точке и есть две петли и узел.

Расчет тока через нагрузочный резистор дает, где. Напряжение на клеммах равно падению потенциала на нагрузочном резисторе. Параллельное соединение снижает внутреннее сопротивление и, таким образом, может производить больший ток.

Параллельно можно подключить любое количество батарей. Для аккумуляторов, включенных параллельно, напряжение на зажимах равно

(6.3.4)

, где эквивалентное сопротивление.

Например, в некоторых грузовиках с дизельным двигателем параллельно используются две батареи; они производят полную ЭДС, но могут обеспечить больший ток, необходимый для запуска дизельного двигателя.

Таким образом, напряжение на клеммах последовательно соединенных батарей равно сумме индивидуальных ЭДС минус сумма внутренних сопротивлений, умноженная на ток. Когда батареи соединены параллельно, они обычно имеют равные ЭДС, а напряжение на клеммах равно ЭДС минус эквивалентное внутреннее сопротивление, умноженное на ток, где эквивалентное внутреннее сопротивление меньше, чем отдельные внутренние сопротивления.Аккумуляторы подключаются последовательно для увеличения напряжения на клеммах нагрузки. Аккумуляторы подключаются параллельно для увеличения тока нагрузки.

Массив солнечных батарей

Другой пример, имеющий дело с несколькими источниками напряжения, — это комбинация солнечных элементов , соединенных как последовательными, так и параллельными соединениями, чтобы обеспечить желаемое напряжение и ток. Фотогальваническая генерация, которая представляет собой преобразование солнечного света непосредственно в электричество, основана на фотоэлектрическом эффекте.Фотоэлектрический эффект выходит за рамки этого учебника, но, как правило, фотоны, ударяясь о поверхность солнечного элемента, создают в нем электрический ток.

Большинство солнечных элементов изготовлено из чистого кремния. Большинство одиночных ячеек имеют выходное напряжение около, в то время как выходной ток является функцией количества солнечного света, падающего на элемент (падающее солнечное излучение, известное как инсоляция). При ярком полуденном солнечном свете типичные монокристаллические элементы производят ток на единицу площади примерно равной площади поверхности ячейки.

Отдельные солнечные элементы электрически соединены в модули для удовлетворения потребностей в электроэнергии. Их можно соединить последовательно или параллельно — как батареи, о которых говорилось ранее. Матрица или модуль солнечных элементов обычно состоит из промежуточных элементов и элементов с выходной мощностью до.

Солнечные элементы, как и батареи, вырабатывают напряжение постоянного тока. Ток от источника постоянного напряжения однонаправлен. Большинству бытовых приборов требуется переменное напряжение.

Кандела Цитаты

Лицензионный контент

CC, особая атрибуция

  • Загрузите бесплатно по адресу http://cnx.org/contents/[email protected] Получено с : http://cnx.org/contents/[email protected] Лицензия : CC BY: Attribution
.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *