Кирхгофа можно использовать для анализа любой цепи, изменяя их для этих цепей с электродвижущими силами, резисторами, конденсаторами и т. Д. Однако с практической точки зрения правила полезны только для характеристики тех цепей, которые нельзя упростить, комбинируя элементы последовательно и параллельно.

Последовательные и параллельные комбинации, как правило, намного проще выполнить, чем применение любого из правил Кирхгофа, но правила Кирхгофа применимы более широко и должны использоваться для решения проблем, связанных со сложными схемами, которые нельзя упростить, комбинируя элементы схемы последовательно или параллельно.

Пример правил Кирхгофа

показывает очень сложную схему, но можно применить правила Кирхгофа для петель и соединений. Чтобы решить схему для токов I ₁ , I ₂ и I ₃ , необходимы оба правила.

Правила Кирхгофа: пример задачи : На этом изображении показана очень сложная схема, которую можно сократить и решить с помощью правил Кирхгофа.

Применяя правило Кирхгофа в точке a, находим:

[латекс] \ text {I} _1 = \ text {I} _2 + \ text {I} _3 [/ latex]

, потому что I ₁ течет в точку a, а I ₂ и I3 вытекает.То же самое можно найти в точке e. Теперь мы должны решить это уравнение для каждой из трех неизвестных переменных, что потребует трех разных уравнений.

Учитывая цикл abcdea, мы можем использовать правило цикла Кирхгофа:

[латекс] — \ text {I} _2 \ text {R} _2 + \ mathrm {\ text {emf}} _ 1- \ text {I} _2 \ text {r} _1- \ text {I} _1 \ text { R} _1 = — \ text {I} _2 (\ text {R} _2) + \ text {r} _1) + \ mathrm {\ text {emf}} _ 1- \ text {I} _1 \ text {R} _1 = 0 [/ латекс]

Подставляя значения сопротивления и ЭДС из рисунка на диаграмме и отменяя единицу измерения ампер, получаем:

[латекс] -3 \ text {I} _2 + 18-6 \ text {I} _1 = 0 [/ латекс]

Это вторая часть системы трех уравнений, которую мы можем использовать, чтобы найти все три текущих значения. Последнюю можно найти, применив правило цикла к циклу aefgha, которое дает:

[латекс] \ text {I} _1 \ text {R} _1 + \ text {I} _3 \ text {R} _3 + \ text {I} _3 \ text {r} _2- \ mathrm {\ text {emf}} _2 = \ text {I} _1 \ text {R} _1 + \ text {I} _3 (\ text {R} _3 + \ text {r} _2) — \ mathrm {\ text {emf}} _ 2 = 0 [/ латекс ]

Используя замену и упрощение, это становится:

[латекс] 6 \ text {I} _1 + 2 \ text {I} _3-45 = 0 [/ латекс]

В этом случае знаки поменялись местами по сравнению с другим циклом, потому что элементы перемещаются в противоположном направлении.

Теперь у нас есть три уравнения, которые можно использовать в системе. Второй будет использоваться для определения I ₂ и может быть изменен на:

[латекс] \ text {I} _2 = 6-2 \ text {I} _1 [/ латекс]

Третье уравнение может использоваться для определения I ₃ и может быть преобразовано в:

[латекс] \ text {I} _3 = 22,5-3 \ text {I} _1 [/ латекс]

Подставляя новые определения I ₂ и I ₃ (которые являются общими терминами I ₁ ) в первое уравнение (I ₁ = I ₂ + I ₃ ), получаем:

[латекс] \ text {I} _1 = (6-2 \ text {I} _1) + (22. 5-3 \ text {I} _1) = 28,5-5 \ text {I} _1 [/ latex]

Упрощая, получаем, что I ₁ = 4,75 A. Подставляя это значение в два других уравнения, мы находим, что I ₂ = -3,50 A и I ₃ = 8,25 A.

10.3 Правила Кирхгофа — Университетская физика, Том 2

Цели обучения

• Государственное правило Кирхгофа
• Государственное правило петли Кирхгофа
• Анализировать сложные схемы по правилам Кирхгофа

Мы только что видели, что некоторые схемы можно проанализировать, сведя схему к одному источнику напряжения и эквивалентному сопротивлению.Многие сложные схемы не могут быть проанализированы с помощью последовательно-параллельных методов, разработанных в предыдущих разделах. В этом разделе мы подробно рассмотрим использование правил Кирхгофа для анализа более сложных схем. Например, схема на рис. 10.19 известна как многоконтурная схема, состоящая из переходов. Соединение, также известное как узел, представляет собой соединение трех или более проводов. В этой схеме нельзя использовать предыдущие методы, потому что не все резисторы имеют четкую последовательную или параллельную конфигурацию, которую можно уменьшить.Попробуйте. Резисторы R1R1 и R2R2 включены последовательно и могут быть уменьшены до эквивалентного сопротивления. То же самое и с резисторами R4R4 и R5R5. Но что же тогда делать?

Несмотря на то, что эта схема не может быть проанализирована с помощью уже изученных методов, два правила анализа схемы могут использоваться для анализа любой схемы, простой или сложной. Эти правила известны как правила Кирхгофа в честь их изобретателя Густава Кирхгофа (1824–1887).

Рисунок 10.19 Эта схема не может быть сведена к комбинации последовательного и параллельного соединения.Однако мы можем использовать правила Кирхгофа для его анализа.

Правила Кирхгофа

• Первое правило Кирхгофа — правило соединения. Сумма всех токов, входящих в соединение, должна равняться сумме всех токов, выходящих из соединения: ∑Iin = ∑Iout.∑Iin = ∑Iout.

  10,4

• Второе правило Кирхгофа — правило петли. Алгебраическая сумма изменений потенциала вокруг любого пути (контура) замкнутой цепи должна быть равна нулю:

Теперь мы даем объяснения этих двух правил, за которыми следуют советы по их применению и рабочий пример, в котором они используются.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Кирхгофа (правило соединения) применяется к заряду, входящему в соединение и выходящему из него (рис. 10.20). Как указывалось ранее, соединение или узел — это соединение трех или более проводов. Ток — это поток заряда, и заряд сохраняется; таким образом, любой заряд, попадающий в переход, должен вытекать.

Рисунок 10.20 Заряд должен сохраняться, поэтому сумма токов в переходе должна быть равна сумме токов на выходе.

Хотя это чрезмерное упрощение, можно провести аналогию с водопроводными трубами, соединенными в водопроводной разводке. Если провода на рис. 10.20 были заменены водопроводными трубами и вода считалась несжимаемой, объем воды, текущей в соединение, должен быть равен объему воды, вытекающей из соединения.

Второе правило Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа (правило петли) применяется к разности потенциалов. Правило петли сформулировано в терминах потенциала В , а не потенциальной энергии, но они связаны между собой, поскольку U = qV.U = qV. В замкнутом контуре, какая бы энергия ни поступала от источника напряжения, энергия должна быть передана в другие формы устройствами в контуре, поскольку нет других способов передачи энергии в цепь или из нее. Правило петли Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма разностей потенциалов, включая напряжение, подаваемое источниками напряжения и резистивными элементами, в любой петле должна быть равна нулю. Например, рассмотрим простую петлю без стыков, как на рис. 10.21.

Рисунок 10.21 Простая петля без стыков. Правило петли Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма разностей напряжений равна нулю.

Схема состоит из источника напряжения и трех внешних нагрузочных резисторов. Этикетки a , b , c и d служат в качестве ссылок и не имеют другого значения. Скоро станет очевидна полезность этих этикеток. Цепь обозначается как Loop abcda , и метки помогают отслеживать разницу напряжений при перемещении по цепи.Начните с точки a и двигайтесь к точке b . Напряжение источника напряжения добавляется к уравнению и вычитается падение потенциала резистора R1R1. От точки b до c вычитается падение потенциала на R2R2. От c до d вычитается потенциальное падение на R3R3. От точек d до a ничего не делается, потому что нет компонентов.

На рис. 10.22 показан график напряжения при перемещении по контуру.Напряжение увеличивается при прохождении через батарею, тогда как напряжение уменьшается при прохождении через резистор. Падение потенциала или изменение электрического потенциала равно току через резистор, умноженному на сопротивление резистора. Поскольку провода имеют незначительное сопротивление, напряжение остается постоянным, когда мы пересекаем провода, соединяющие компоненты.

Рисунок 10.22 График напряжения при движении по цепи. Напряжение увеличивается, когда мы пересекаем батарею, и уменьшается, когда мы пересекаем каждый резистор.Поскольку сопротивление провода довольно мало, мы предполагаем, что напряжение остается постоянным, когда мы пересекаем провода, соединяющие компоненты.

Тогда правило петли Кирхгофа утверждает

Уравнение контура можно использовать для определения тока в контуре:

Этот цикл можно было бы проанализировать с помощью предыдущих методов, но мы продемонстрируем мощь метода Кирхгофа в следующем разделе.

Применение правил Кирхгофа

Применяя правила Кирхгофа, мы генерируем набор линейных уравнений, которые позволяют нам находить неизвестные значения в схемах. Это могут быть токи, напряжения или сопротивления. Каждый раз, когда применяется правило, оно создает уравнение. Если независимых уравнений столько же, сколько неизвестных, то проблема может быть решена.

Использование метода анализа Кирхгофа требует нескольких шагов, перечисленных в следующей процедуре.

Стратегия решения проблем

Правила Кирхгофа

1. Обозначьте точки на принципиальной схеме строчными буквами a , b , c ,…. Эти ярлыки просто помогают сориентироваться.
2. Найдите соединения в цепи. Соединения — это точки, в которых соединяются три или более проводов. Обозначьте каждое соединение токами и направлениями в него и из него. Убедитесь, что по крайней мере один ток направлен на соединение, а по крайней мере один ток выходит из соединения.
3. Выбрать петли в схеме. Каждый компонент должен содержаться хотя бы в одном цикле, но компонент может содержаться более чем в одном цикле.
4. Примените правило соединения.Опять же, некоторые стыки не следует включать в анализ. Вам нужно использовать достаточно узлов только для включения каждого тока.
5. Примените правило цикла. Используйте карту на рисунке 10.23.

Рисунок 10.23 Каждый из этих резисторов и источников напряжения проходит от до до на . (a) При перемещении через резистор в том же направлении, что и ток, вычтите падение потенциала. (b) При перемещении через резистор в направлении, противоположном току, добавьте падение потенциала.(c) При перемещении источника напряжения от отрицательного вывода к положительному, добавьте падение потенциала. (d) При перемещении через источник напряжения от положительной клеммы к отрицательной вычтите падение потенциала.

Давайте рассмотрим некоторые этапы этой процедуры более подробно. При размещении переходов в цепи не обращайте внимания на направление токов. Если направление потока тока неочевидно, выбора любого направления достаточно, если хотя бы один ток направлен в соединение и хотя бы один ток выходит из соединения.Если стрелка находится в направлении, противоположном обычному течению тока, результат для рассматриваемого тока будет отрицательным, но ответ все равно будет правильным.

Количество узлов зависит от схемы. Каждый ток должен быть включен в узел и, таким образом, включен по крайней мере в одно уравнение соединения. Не включайте узлы, которые не являются линейно независимыми, то есть узлы, содержащие одинаковую информацию.

Рассмотрим рисунок 10.24. В этой цепи два перехода: переход b и переход e .Точки a , c , d и f не являются перекрестками, потому что стык должен иметь три или более соединений. Уравнение для перехода b : I1 = I2 + I3I1 = I2 + I3, а уравнение для перехода e — I2 + I3 = I1I2 + I3 = I1. Это эквивалентные уравнения, поэтому необходимо оставить только одно из них.

Рис. 10.24 На первый взгляд, эта схема содержит два соединения, соединение b и соединение e , но следует рассматривать только один, поскольку их уравнения соединения эквивалентны.

При выборе петель в схеме вам необходимо достаточное количество петель, чтобы каждый компонент был покрыт один раз, без повторения петель. На рис. 10.25 показаны четыре варианта петель для решения типовой схемы; варианты (a), (b) и (c) имеют достаточное количество циклов для полного решения схемы. Вариант (d) отражает больше петель, чем необходимо для решения схемы.

Рисунок 10.25 Панели (a) — (c) достаточно для анализа схемы. В каждом случае два показанных контура содержат все элементы схемы, необходимые для полного решения схемы.На панели (d) показаны три использованных контура, что больше, чем необходимо. Любые две петли в системе будут содержать всю информацию, необходимую для решения схемы. Добавление третьего цикла дает избыточную информацию.

Рассмотрим схему на рисунке 10.26 (а). Давайте проанализируем эту схему, чтобы найти ток через каждый резистор. Сначала промаркируйте схему, как показано в части (b).

Рисунок 10.26 (a) Многоконтурная схема. (b) Пометьте цепь, чтобы облегчить ориентацию.

Далее определяем перекрестки.В этой схеме точки b и e имеют по три соединенных провода, что делает их соединениями. Начните применять правило соединения Кирхгофа (∑Iin = ∑Iout) (∑Iin = ∑Iout), нарисовав стрелки, представляющие токи, и пометив каждую стрелку, как показано на рисунке 10.27 (b). Соединение b показывает, что I1 = I2 + I3I1 = I2 + I3, а соединение e показывает, что I2 + I3 = I1I2 + I3 = I1. Поскольку соединение e дает ту же информацию, что и соединение b , ее можно не принимать во внимание.Эта схема имеет три неизвестных, поэтому для ее анализа нам понадобятся три линейно независимых уравнения.

Рис. 10.27 (a) Эта схема имеет два соединения, обозначенных b и e , но в анализе используется только узел b . (b) Обозначенные стрелки представляют токи в переходах и на выходе из них.

Далее нам нужно выбрать петли. На рисунке 10.28 контур abefa включает в себя источник напряжения V1V1 и резисторы R1R1 и R2R2. Цикл начинается в точке a , затем проходит через точки b , e и f , а затем возвращается к точке a .Второй контур, контур ebcde , начинается в точке e и включает резисторы R2R2 и R3R3, а также источник напряжения V2V2.

Рисунок 10.28 Выберите петли в схеме.

Теперь мы можем применить правило цикла Кирхгофа, используя карту на рисунке 10.23. Начиная с точки a и двигаясь к точке b , резистор R1R1 пересекается в том же направлении, что и ток I1I1, поэтому падение потенциала I1R1I1R1 вычитается. Двигаясь от точки b к точке e , резистор R2R2 пересекается в том же направлении, что и ток I2I2, поэтому падение потенциала I2R2I2R2 вычитается. Двигаясь от точки e к точке f , источник напряжения V1V1 пересекается от отрицательной клеммы к положительной клемме, поэтому добавляется V1V1. Между точками f и a нет компонентов. Сумма разностей напряжений должна равняться нулю:

Наконец, мы проверяем цикл ebcde . Мы начинаем с точки e и переходим к точке b , пересекая R2R2 в направлении, противоположном течению тока I2I2.Добавляется падение потенциала I2R2I2R2. Затем мы пересекаем R3R3 и R4R4 в том же направлении, что и ток I3I3, и вычитаем падения потенциала I3R3I3R3 и I3R4.I3R4. Обратите внимание, что ток через резисторы R3R3 и R4R4 одинаковый, потому что они соединены последовательно. Наконец, источник напряжения пересекается с положительной клеммы на отрицательную, а источник напряжения V2V2 вычитается. Сумма этих разностей напряжений равна нулю и дает уравнение контура

Теперь у нас есть три уравнения, которые мы можем решить относительно трех неизвестных.

Чтобы решить три уравнения для трех неизвестных токов, начните с исключения тока I2I2. Сначала добавьте уравнение. (1) умножить на R2R2 по формуле. (2). Результат обозначен как уравнение. (4):

Затем вычтите уравнение. (3) из уравнения. (2). Результат обозначен как уравнение. (5):

Мы можем решить уравнения. (4) и (5) для тока I1I1. Сложив в семь раз уравнение. (4) и троекратное уравнение. (5) дает 51 Ом I1 = 153 В, 51 Ом I1 = 153 В или I1 = 3,00 А. I1 = 3,00 А. Используя уравнение. (4) дает I3 = −2,00 A. I3 = −2,00 A. Наконец, уравнение. (1) дает I2 = I1 − I3 = 5,00 A. I2 = I1 − I3 = 5,00 A. Один из способов проверить соответствие решений — проверить мощность, подаваемую источниками напряжения, и мощность, рассеиваемую резисторами:

Обратите внимание, что решение для тока I3I3 отрицательное. Это правильный ответ, но он предполагает, что стрелка, первоначально нарисованная при анализе соединений, имеет направление, противоположное направлению обычного тока. Мощность, отдаваемая вторым источником напряжения, составляет 58 Вт, а не −58 Вт.

Пример 10.6

Расчет тока по правилам Кирхгофа

Стратегия

Решение

Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений.

Упростите уравнения. Уравнение первого цикла можно упростить, разделив обе части на 3,00. Второе уравнение петли можно упростить, разделив обе части на 6.00.

Результатов:

Значение

Подаваемая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами.

Проверьте свое понимание 10.6

При рассмотрении следующей схемы и мощности, подаваемой и потребляемой схемой, будет ли источник напряжения всегда обеспечивать питание схемы или может ли источник напряжения потреблять энергию?

Пример 10.7

Расчет тока по правилам Кирхгофа

Рисунок 10.30 Эта схема состоит из трех последовательно соединенных резисторов и двух батарей. Обратите внимание, что батареи подключены с противоположной полярностью.

Стратегия

Решение

Упростите уравнения, поместив неизвестные в одну сторону уравнений. Используйте значения, указанные на рисунке.

Значение

Подаваемая мощность равна мощности, рассеиваемой резисторами и потребляемой батареей V1.V1.

Проверьте свое понимание 10,7

При использовании законов Кирхгофа вам необходимо решить, какие петли использовать, и направление тока, протекающего через каждую петлю. При анализе схемы в Примере 10.7 направление тока было выбрано по часовой стрелке от точки a до точки b . Как бы изменились результаты, если бы направление тока было выбрано против часовой стрелки, от точки b до точки a ?

Несколько источников напряжения

Для многих устройств требуется более одной батареи. Несколько источников напряжения, таких как батареи, могут быть подключены в последовательной конфигурации, параллельной конфигурации или их комбинации.

Последовательно положительная клемма одной батареи соединена с отрицательной клеммой другой батареи.Любое количество источников напряжения, в том числе аккумуляторы, можно подключать последовательно. Две последовательно соединенные батареи показаны на рисунке 10.31. Использование правила петли Кирхгофа для схемы в части (b) дает результат

Рисунок 10.31 (a) Две батареи, подключенные последовательно через нагрузочный резистор. (b) Принципиальная схема двух батарей и нагрузочного резистора, каждая из которых моделируется как идеализированный источник ЭДС и внутреннее сопротивление.

Когда источники напряжения включены последовательно, их внутренние сопротивления можно складывать вместе, а их ЭДС можно складывать вместе, чтобы получить общие значения. Последовательное соединение источников напряжения является обычным явлением, например, в фонариках, игрушках и других приборах. Обычно ячейки включены последовательно, чтобы обеспечить большую суммарную ЭДС. На рисунке 10.31 напряжение на клеммах равно

Обратите внимание, что одинаковый ток I присутствует в каждой батарее, потому что они соединены последовательно. Недостаток последовательного соединения ячеек в том, что их внутренние сопротивления складываются.

Батареи соединены последовательно для увеличения напряжения, подаваемого в цепь. Например, светодиодный фонарик может иметь две батарейки типа AAA, каждая с напряжением на клеммах 1,5 В, чтобы обеспечить 3,0 В для фонарика.

Любое количество аккумуляторов может быть подключено последовательно.Для последовательно включенных аккумуляторов N напряжение на зажимах равно

10,6

, где эквивалентное сопротивление req = ∑i = 1Nrireq = ∑i = 1Nri.

Когда нагрузка подключается к источникам напряжения последовательно, как показано на рисунке 10.32, мы можем найти ток:

Как и ожидалось, внутренние сопротивления увеличивают эквивалентное сопротивление.

Рисунок 10.32 Две батареи подключаются последовательно к светодиодной лампе, как в фонарике.

Источники напряжения, такие как батареи, также можно подключать параллельно. На рисунке 10.33 показаны две батареи с одинаковыми ЭДС, включенные параллельно и подключенные к сопротивлению нагрузки. Когда батареи подключаются параллельно, положительные клеммы соединяются вместе, а отрицательные клеммы соединяются вместе, а сопротивление нагрузки подключается к положительной и отрицательной клеммам.Обычно источники напряжения, включенные параллельно, имеют идентичные ЭДС. В этом простом случае, поскольку источники напряжения подключены параллельно, общая ЭДС равна индивидуальной ЭДС каждой батареи.

Рассмотрим анализ Кирхгофа схемы на рисунке 10.33 (б). Есть две петли и узел в точке b и ε = ε1 = ε2ε = ε1 = ε2.

Узел b : I1 + I2-I = 0I1 + I2-I = 0.

Цикл abcfa : ε − I1r1 + I2r2 − ε = 0, I1r1 = I2r2.ε − I1r1 + I2r2 − ε = 0, I1r1 = I2r2.

Петля fcdef : ε2-I2r2-IR = 0, ε-I2r2-IR = 0. ε2-I2r2-IR = 0, ε-I2r2-IR = 0.

Решение для тока через резистор нагрузки приводит к I = εreq + RI = εreq + R, где req = (1r1 + 1r2) −1req = (1r1 + 1r2) −1. Напряжение на клеммах равно падению потенциала на нагрузочном резисторе IR = (εreq + R) IR = (εreq + R).Параллельное соединение снижает внутреннее сопротивление и, таким образом, может производить больший ток.

Параллельно можно подключить любое количество батарей. Для параллельно включенных аккумуляторов N напряжение на зажимах равно

10,7

, где эквивалентное сопротивление равно req = (∑i = 1N1ri) −1req = (∑i = 1N1ri) −1.

Например, в некоторых грузовиках с дизельным двигателем параллельно используются две батареи на 12 В; они производят полную ЭДС 12 В, но могут обеспечивать больший ток, необходимый для запуска дизельного двигателя.

Таким образом, напряжение на клеммах последовательно соединенных батарей равно сумме индивидуальных ЭДС минус сумма внутренних сопротивлений, умноженная на ток. Когда батареи соединены параллельно, они обычно имеют равные ЭДС, а напряжение на клеммах равно ЭДС минус эквивалентное внутреннее сопротивление, умноженное на ток, где эквивалентное внутреннее сопротивление меньше, чем отдельные внутренние сопротивления. Аккумуляторы подключаются последовательно для увеличения напряжения на клеммах нагрузки.Аккумуляторы подключаются параллельно для увеличения тока нагрузки.

Массив солнечных батарей

Другой пример, имеющий дело с несколькими источниками напряжения, — это комбинация солнечных элементов, соединенных как последовательно, так и параллельно, чтобы обеспечить желаемое напряжение и ток. Фотогальваническая генерация, которая представляет собой преобразование солнечного света непосредственно в электричество, основана на фотоэлектрическом эффекте. Фотоэлектрический эффект выходит за рамки этой главы и рассматривается в книге «Фотоны и волны материи», но, как правило, фотоны, ударяясь о поверхность солнечного элемента, создают в нем электрический ток.

Большинство солнечных элементов изготовлено из чистого кремния. Большинство отдельных элементов имеют выходное напряжение около 0,5 В, в то время как выходной ток зависит от количества солнечного света, падающего на элемент (падающее солнечное излучение, известное как инсоляция). При ярком полуденном солнечном свете типичные монокристаллические элементы вырабатывают ток на единицу площади около 100 мА / см 2100 мА / см 2 площади поверхности ячейки.

Отдельные солнечные элементы электрически соединены в модули для удовлетворения потребностей в электроэнергии.Их можно соединить последовательно или параллельно — как батареи, о которых говорилось ранее. Группа или модуль солнечных элементов обычно состоит из 36-72 элементов с выходной мощностью от 50 до 140 Вт.

Солнечные элементы, как и батареи, вырабатывают напряжение постоянного тока. Ток от источника постоянного напряжения однонаправлен. Для большинства бытовых приборов требуется напряжение переменного тока.

21.3 Правила Кирхгофа — Колледж Физики, главы 1-17

Применяя правила Кирхгофа, мы генерируем уравнения, которые позволяют нам находить неизвестные в схемах.Неизвестными могут быть токи, ЭДС или сопротивления. Каждый раз, когда применяется правило, создается уравнение. Если независимых уравнений столько же, сколько неизвестных, то проблема может быть решена. При применении правил Кирхгофа вы должны принять два решения. Эти решения определяют знаки различных величин в уравнениях, которые вы получаете в результате применения правил.

Рисунок 4 и следующие пункты помогут правильно определить знаки плюса и минуса при применении правила цикла. Обратите внимание, что резисторы и ЭДС пересекаются при переходе от a к b. Во многих схемах потребуется построить более одного контура. Проходя каждый цикл, нужно быть последовательным в отношении знака изменения потенциала. (См. Пример 1.)

Пример 1: Расчет силы тока: с использованием правил Кирхгофа

Найдите токи, протекающие в цепи, показанной на Рисунке 5.

Стратегия

Эта схема достаточно сложна, поэтому токи нельзя найти с помощью закона Ома и последовательно-параллельных методов — необходимо использовать правила Кирхгофа. На рисунке токи обозначены [латекс] \ boldsymbol {I_1} [/ latex], [latex] \ boldsymbol {I_2} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {I_3} [/ latex]. сделал о своих направлениях. Места на схеме обозначены буквами от a до h. В решении мы будем применять правила соединения и петли, ища три независимых уравнения, которые позволят нам решить три неизвестных тока.

Решение

Начнем с применения правила Кирхгофа первого или перекрестка в точке а. Это дает

[латекс] \ boldsymbol {I_1 = I_2 + I_3}, [/ латекс]

, поскольку [latex] \ boldsymbol {I_1} [/ latex] течет в соединение, а [latex] \ boldsymbol {I_2} [/ latex] и [latex] \ boldsymbol {I_3} [/ latex] вытекает. Применение правила соединения в e дает точно такое же уравнение, так что новая информация не получается.Это одно уравнение с тремя неизвестными — необходимы три независимых уравнения, поэтому необходимо применять правило цикла.

Теперь рассмотрим цикл abcdea. Переходя от a к b, мы пересекаем [латекс] \ boldsymbol {R_2} [/ latex] в том же (предполагаемом) направлении, что и текущий [латекс] \ boldsymbol {I_2} [/ latex], и поэтому изменение потенциала [латекс] \ boldsymbol {-I_2R_2} [/ латекс]. Затем, переходя от b к c, мы переходим от — к +, так что изменение потенциала составляет [latex] \ boldsymbol {+ \ textbf {emf} _1} [/ latex]. Если пересечь внутреннее сопротивление [латекс] \ boldsymbol {r_1} [/ latex] от c до d, получим [латекс] \ boldsymbol {-I_2r_1} [/ latex]. Завершение цикла путем перехода от d к a снова проходит через резистор в том же направлении, что и его ток, давая изменение потенциала [latex] \ boldsymbol {-I_1R_1} [/ latex].

Правило цикла гласит, что сумма изменений потенциала равна нулю. Таким образом,

[латекс] \ boldsymbol {-I_2R_2 + \ textbf {emf} _1 — I_2r_1 — I_1R_1 = -I_2 (R_2 + r_1) + \ textbf {emf} _1 — I_1R_1 = 0}.[/ латекс]

Подставляя значения из принципиальной схемы для сопротивлений и ЭДС и отменяя единицу измерения ампер, получаем

[латекс] \ boldsymbol {-3I_2 + 18 -6I_1 = 0}. [/ Латекс]

Теперь, применяя правило цикла к aefgha (мы могли бы также выбрать abcdefgha), аналогично дает

[латекс] \ boldsymbol {+ I_1R_1 + I_3R_3 + I_3r_2 — \ textbf {emf} _2 = + I_1R_1 + I_3 (R_3 + r_2) — \ textbf {emf} _2 = 0}. [/ Латекс]

Обратите внимание, что знаки меняются местами по сравнению с другим циклом, потому что элементы перемещаются в противоположном направлении. С введенными значениями это становится

[латекс] \ boldsymbol {+ 6I_1 + 2I_3 — 45 = 0}. [/ Latex]

Этих трех уравнений достаточно для решения трех неизвестных токов. Сначала решите второе уравнение для [латекса] \ boldsymbol {I_2} [/ latex]:

[латекс] \ boldsymbol {I_2 = 6 — 2I_1}. [/ Латекс]

Теперь решите третье уравнение для [латекса] \ boldsymbol {I_3} [/ latex]:

[латекс] \ boldsymbol {I_3 = 22,5 — 3I_1}. [/ Latex]

Подстановка этих двух новых уравнений в первое позволяет нам найти значение для [latex] \ boldsymbol {I_1} [/ latex]:

[латекс] \ boldsymbol {I_1 = I_2 + I_3 = (6 — 2I_1) + (22.5 — 3I_1) = 28,5 — 5I_1}. [/ Latex]

Объединение терминов дает

[латекс] \ boldsymbol {6I_1 = 28,5} [/ латекс] и

[латекс] \ boldsymbol {I_1 = 4.75 \; \ textbf {A}}. [/ Latex]

Подставляя это значение вместо [latex] \ boldsymbol {I_1} [/ latex] обратно в четвертое уравнение, получаем

[латекс] \ boldsymbol {I_2 = 6 — 2I_1 = 6 — 9,50} [/ латекс]

[латекс] \ boldsymbol {I_2 = -3,50 \; \ textbf {A}}. [/ Latex]

Знак минус означает, что [латекс] \ boldsymbol {I_2} [/ latex] течет в направлении, противоположном предполагаемому на рисунке 5.

Наконец, подстановка значения [latex] \ boldsymbol {I_1} [/ latex] в пятое уравнение дает

[латекс] \ boldsymbol {I_3 = 22,5 — 3I_1 = 22,5 — 14,25} [/ латекс]

[латекс] \ boldsymbol {I_3 = 8.25 \; \ textbf {A}}. [/ Latex]

Обсуждение

Для проверки отметим, что действительно [латекс] \ boldsymbol {I_1 = I_2 + I_3} [/ latex]. Результаты также можно было проверить, введя все значения в уравнение для цикла abcdefgha.

Материал в этом разделе теоретически верен. Мы сможем проверить это, измерив ток и напряжение. Фактически, некоторые из устройств, используемых для таких измерений, представляют собой прямое применение принципов, рассмотренных до сих пор, и будут исследованы в следующих модулях. Как мы увидим, результат очень основного, даже глубокого факта — выполнение измерения изменяет измеряемую величину.

Законы Кирхгофа (ток и напряжение): что это такое и почему это важно?

Обновлено 28 декабря 2020 г.

Автор: GAYLE TOWELL

По мере того, как электрические цепи становятся все более сложными с множеством ветвей и элементов, становится все сложнее определить, какой ток может протекать через любую данную ветвь, и как это настроить.Полезно иметь систематический способ анализа цепей.

Важные определения

Чтобы понять законы Кирхгофа, необходимо несколько определений:

• Напряжение В — это разность потенциалов на элементе схемы. Он измеряется в вольтах (В).
• Ток I — это мера скорости прохождения заряда через точку в цепи. Он измеряется в амперах (А).
• Сопротивление R — это мера сопротивления элемента схемы протеканию тока.Он измеряется в омах (Ом).
• Закон Ома связывает эти три величины следующим уравнением: V = IR.

Что такое законы Кирхгофа?

В 1845 году немецкий физик Густав Кирхгоф формализовал следующие два правила о схемах:

1. Правило соединения (также известное как закон Кирхгофа или KCL): Сумма всех токов, протекающих в переходе в цепи. цепь должна равняться общему току, вытекающему из перехода.

Другой способ выражения этого закона состоит в том, что алгебраическая сумма токов, текущих в переход, равна 0. Это означало бы рассматривать любые токи, протекающие в переход, как положительные, а любые текущие — как отрицательные. Поскольку общий приток должен равняться общему оттоку, это эквивалентно утверждению, что суммы будут равны 0, поскольку это равносильно перемещению оттекающих на другую сторону уравнения с отрицательным знаком.

Этот закон выполняется при простом применении сохранения заряда.Все, что входит, должно равняться тому, что вытекает. Представьте, что водопроводные трубы соединяются и разветвляются подобным образом. Точно так же, как вы ожидаете, что общая вода, текущая в переход, будет равна общему количеству воды, вытекающей из перехода, так и с текущими электронами.

2. Правило цикла (также известное как закон напряжения Кирхгофа или KVL): Сумма разностей потенциалов (напряжений) вокруг замкнутого контура в цепи должна равняться 0.

Чтобы понять второй закон Кирхгофа, представьте себе что бы случилось, если бы это было неправдой.Рассмотрим одноконтурный контур, в котором есть несколько батарей и резисторов. Представьте, что вы начинаете с точки A и двигаетесь по петле по часовой стрелке. Вы набираете напряжение, когда идете через батарею, а затем падаете, когда вы проходите через резистор и так далее.

Обойдя весь круг, вы снова окажетесь в точке A . Сумма всех разностей потенциалов при обходе контура должна тогда равняться разнице потенциалов между точкой A и самой собой.Что ж, одна точка не может иметь два разных значения потенциала, поэтому эта сумма должна быть 0.

В качестве аналогии рассмотрим, что произойдет, если вы пойдете по круговой пешеходной тропе. Предположим, вы начинаете с точки A и начинаете поход. Часть похода ведет в гору, часть — под гору и так далее. После завершения цикла вы снова вернетесь в точку A . Это обязательно тот случай, когда сумма ваших приростов и перепадов высоты в этом замкнутом контуре должна быть равна 0 именно потому, что высота в точке A должна равняться сама себе.

Почему важны законы Кирхгофа?

При работе с простой последовательной цепью определение тока в контуре требует только знания приложенного напряжения и суммы сопротивлений в контуре (с последующим применением закона Ома).

В параллельных цепях и электрических цепях с комбинациями Однако для последовательных и параллельных элементов задача определения тока, протекающего через каждую ветвь, быстро усложняется. Ток, входящий в соединение, будет разделяться по мере того, как он входит в разные части цепи, и не очевидно, сколько будет проходить в каждую сторону без тщательного анализа.

Два правила Кирхгофа позволяют анализировать все более сложные схемы. Хотя требуемые алгебраические шаги по-прежнему довольно сложны, сам процесс прост. Эти законы широко используются в области электротехники.

Возможность анализировать схемы важна для предотвращения перегрузки элементов схемы. Если вы не знаете, какой ток будет протекать через устройство или какое напряжение упадет на нем, вы не будете знать, какой будет выходная мощность, и все это имеет значение для функционирования устройства.

Как применять законы Кирхгофа

Правила Кирхгофа можно применить для анализа принципиальной схемы, выполнив следующие шаги:

Для каждой ветви, i , цепи, пометьте неизвестный ток, текущий через нее I _i и выберите направление для этого тока. (Направление не обязательно должно быть правильным. Если окажется, что этот ток на самом деле течет в противоположном направлении, то вы просто получите отрицательное значение при решении для этого тока позже.)

Для каждой петли в цепи выберите направление. (Это произвольно. Вы можете выбрать против часовой стрелки или по часовой стрелке. Это не имеет значения.)

Для каждого цикла начните с одной точки и двигайтесь в выбранном направлении, складывая разности потенциалов по каждому элементу. Эти разности потенциалов можно определить следующим образом:

• Если ток проходит в положительном направлении через источник напряжения, это положительное значение напряжения. Если ток проходит через источник напряжения в отрицательном направлении, напряжение должно иметь отрицательный знак.
• Если ток проходит в положительном направлении через резистивный элемент, то вы используете закон Ома и добавляете -I _i × R (падение напряжения на этом резисторе) для этого элемента. Если ток проходит в отрицательном направлении через резистивный элемент, вы добавляете + I _i × R для этого элемента.
• После того, как вы обошли контур, установите эту сумму всех напряжений равной 0. Повторите для всех контуров в цепи.

Для каждого перехода сумма токов, протекающих в этом переходе, должна равняться сумме токов, вытекающих из этого перехода.Запишите это в виде уравнения.

Теперь у вас должен быть набор одновременных уравнений, который позволит вам определять ток (или другие неизвестные величины) во всех ветвях цепи. Последний шаг — решить эту систему алгебраически.

Примеры

Пример 1: Рассмотрим следующую схему:

Применяя шаг 1, для каждой ветви мы маркируем неизвестные токи.

••• na

Применяя Шаг 2, мы выбираем направление для каждой петли в схеме следующим образом:

••• na

Теперь мы применяем Шаг 3: Для каждой петли, начиная с одной точки и обходя в выбранном направлении складываем разности потенциалов по каждому элементу и устанавливаем сумму равной 0.

Для цикла 1 на диаграмме мы получаем:

-I_1 \ times 40 — I_3 \ times 100 + 3 = 0

Для цикла 2 на диаграмме получаем:

-I_2 \ times 75-2 + I_3 \ times 100 = 0

Для шага 4 мы применяем правило соединения. На нашей диаграмме есть два соединения, но оба они дают эквивалентные уравнения. А именно:

I_1 = I_2 + I_3

Наконец, на шаге 5 мы используем алгебру для решения системы уравнений для неизвестных токов:

Используйте уравнение соединения, чтобы подставить в уравнение первого контура:

— (I_2 + I_3) \ times 40 — I_3 \ times 100 + 3 = -40I_2 — 140I_3 + 3 = 0

Решите это уравнение для I ₂ :

I_2 = \ frac {3-140I_3} {40}

Подставьте это в уравнение второго цикла:

— [(3-140I_3) / 40] \ times 75-2 + 100I_3 = 0

-3 \ times 75/40 + (140 \ times 75/40) I_3 — 2 + 100I_3 = 0 \\ \ подразумевает I_3 = (2 + 3 \ times 75/40) / (140 \ times 75/40 + 100) = 0.021 \ text {A}

Используйте значение I ₃ , чтобы найти I ₂ :

I_2 = (3-140 \ times (0,021)) / 40 = 0,0015 \ text {A}

I_1 = I_2 + I_3 = 0,021 + 0,0015 = 0,0225 \ text {A}

Итак, окончательный результат таков: I ₁ = 0,0225 A, I ₂ = 0,0015 A и I ₃ = 0,021 A.

Подстановка этих текущих значений в исходные уравнения проверяет правильность, поэтому мы можем быть достаточно уверены в результате!

Попробуйте повторить эту же задачу еще раз, но сделайте другой выбор для ваших текущих меток и направлений петли.Если все будет сделано осторожно, вы должны получить тот же результат, показывая, что первоначальный выбор действительно произвольный.

(Обратите внимание, что если вы выберете разные направления для обозначенных токов, тогда ваши ответы для них будут отличаться знаком минус; однако результаты все равно будут соответствовать тому же направлению и величине тока в цепи.)

Пример 2: Какова электродвижущая сила (ЭДС) ε батареи в следующей цепи? Какой ток в каждой ветке?

••• na

Сначала мы маркируем все неизвестные токи.Пусть I ₂ = ток вниз через среднюю ветвь и I ₁ = ток вниз через крайнюю правую ветвь. Изображение уже показывает текущий I в крайнем левом ответвлении с маркировкой.

Выбор направления по часовой стрелке для каждого контура и применение законов схемы Кирхгофа дает следующую систему уравнений:

\ begin {align} & I_1 = I-I_2 \\ & \ varepsilon — 4I — 6I_2 + 8 = 0 \\ & — 12I_1 — 8 + 6I_2 = 0 \ end {align}

Для решения замените I — I ₂ на I ₁ в третьем уравнении, а затем подставьте данное значение для I и решите это уравнение относительно I ₂ .Когда вы знаете I ₂ , вы можете подставить I и I ₂ в первое уравнение, чтобы получить I ₁ . Затем вы можете решить второе уравнение относительно ε . Следуя этим шагам, вы получите окончательное решение:

\ begin {align} & I_2 ​​= 16/9 = 1,78 \ text {A} \\ & I_1 = 2/9 = 0,22 \ text {A} \\ & \ varepsilon = 32/3 = 10.67 \ text {V} \ end {align}

Опять же, вы всегда должны проверять свои окончательные результаты, вставляя их в исходные уравнения. Совершать простые алгебраические ошибки очень легко!

электричество | Определение, факты и типы

Электростатика — это изучение электромагнитных явлений, которые происходят при отсутствии движущихся зарядов, то есть после установления статического равновесия. Заряды быстро достигают положения равновесия, потому что электрическая сила чрезвычайно велика. Математические методы электростатики позволяют рассчитывать распределения электрического поля и электрического потенциала по известной конфигурации зарядов, проводников и изоляторов.И наоборот, имея набор проводников с известными потенциалами, можно рассчитать электрические поля в областях между проводниками и определить распределение заряда на поверхности проводников. Электрическую энергию набора зарядов в состоянии покоя можно рассматривать с точки зрения работы, необходимой для сборки зарядов; в качестве альтернативы, можно также считать, что энергия находится в электрическом поле, создаваемом этой сборкой зарядов. Наконец, энергия может храниться в конденсаторе; энергия, необходимая для зарядки такого устройства, хранится в нем как электростатическая энергия электрического поля.

Статическое электричество — это знакомое электрическое явление, при котором заряженные частицы передаются от одного тела к другому. Например, если два предмета трутся друг о друга, особенно если они являются изоляторами, а окружающий воздух сухой, предметы приобретают равные и противоположные заряды, и между ними возникает сила притяжения. Объект, теряющий электроны, становится заряженным положительно, а другой — отрицательно. Сила — это просто притяжение между зарядами противоположного знака.Свойства этой силы описаны выше; они включены в математическое соотношение, известное как закон Кулона. Электрическая сила, действующая на заряд Q ₁ в этих условиях, вызванная зарядом Q ₂ на расстоянии r , определяется законом Кулона

Жирным шрифтом в уравнении обозначается вектор характер силы, а единичный вектор r̂ — это вектор, который имеет размер один и указывает от заряда Q ₂ до заряда Q ₁ . Константа пропорциональности k равна 10 ⁻⁷ c ² , где c — скорость света в вакууме; k имеет числовое значение 8,99 × 10 ⁹ ньютон-квадратный метр на квадратный кулон (Нм ² / C ² ). На рисунке 1 показано усилие, действующее на Q ₁ из-за Q ₂ . Числовой пример поможет проиллюстрировать эту силу. И Q ₁ , и Q ₂ выбраны произвольно в качестве положительных зарядов, каждый с величиной 10 ⁻⁶ кулонов.Заряд Q ₁ расположен в координатах x , y , z со значениями 0,03, 0, 0 соответственно, а Q ₂ имеет координаты 0, 0,04, 0. Все координаты даны в метрах. Таким образом, расстояние между Q ₁ и Q ₂ составляет 0,05 метра.

Величина силы F на заряде Q ₁ , рассчитанная по уравнению (1), равна 3.6 ньютонов; его направление показано на рисунке 1. Сила, действующая на Q ₂ из-за Q ₁ , составляет — F , что также имеет величину 3,6 ньютона; его направление, однако, противоположно направлению F . Сила F может быть выражена через ее компоненты по осям x и y , поскольку вектор силы лежит в плоскости x y . Это делается с помощью элементарной тригонометрии из геометрии рисунка 1, а результаты показаны на рисунке 2.Таким образом, в ньютонах. Закон Кулона математически описывает свойства электрической силы между зарядами в состоянии покоя. Если заряды имеют противоположные знаки, сила будет притягивающей; притяжение было бы указано в уравнении (1) отрицательным коэффициентом единичного вектора r̂. Таким образом, электрическая сила на Q ₁ будет иметь направление, противоположное единичному вектору r̂ , и будет направлена ​​от Q ₁ к Q ₂ .В декартовых координатах это привело бы к изменению знаков компонентов силы x и y в уравнении (2).